STOCHASTIC CALCULUS

作者: 兔子不会武 | 来源:发表于2020-11-11 10:33 被阅读0次

My understanding of a basic conc
STOCHASTIC CALCULUS
Stochastic Calculus A Practical
学数学的经历
数学基础-条件期望
柯里化 bind 惰性模式参数累计参与者模式
使用Java实现一个lambda interpreter
A Survey of Actor-Critic Reinfor
multivariate calculus week1 welc
essential of Lambda

二叉树无套利定价模型

使用二叉树是为了用股票和现金的组合来复制期权，使用的理论是无套利定价。

定理1.2.2（多时段期权复制方法）
定义： $\tilde p = \frac{1+r-d}{u-d}$ , $\tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}$ 和 $\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) }$
$V_N$ 为衍生证券在时刻 $N$ 的支付（衍生证券的价格），每个 $V_n$ 都取决于前 $n$ 次抛硬币的结果，并且可以由下式倒推 $V_{N-1}, V_{N-2 },\cdots ,V_0$ ：
$V_n(w_1 w_2 \cdots w_n) = \frac{1}{1+r}[ \ \tilde p V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) \ ]$ 。
则，设 $X_0 = V_0$ 且使用 $X_n$ 满足 $X_{n+1} = \Delta _n S_{n+1} + (1+r)(X_n - \Delta_n S_n)$ 递归定义资产组合价值 $X_1, X_2, \cdots, X_N$ ，则有：
$X_N(w_1,w_2 \cdots w_N) = V_N(w_1,w_2 \cdots w_N)$

第一章其实就是分析了具体的几个简单的二叉树例子，由这些例子推出了风险中性概率 $\tilde p$ , $\tilde q$ , 并且发现 $\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n)$ 的规律，然后由此引出了定理1.2.2，即按照以上发现的规律来构造二叉树模型，则可以通过股票和现金的组合复制期权，从而计算出衍生证券的价格。

抛掷硬币空间上的概率论

第二章由第一章的结论继续推进，首先根据风险中性概率测度推出贴现股票价格是一个鞅，然后推出贴现财富过程是一个鞅。

定理2.2.5 詹森（Jesen）不等式 设X为定义在有限概率空间上的随机变量， $\varphi(x)$ 为哑变量 $x$ 的凸函数，则有： $E[\varphi(X)] \geq\varphi(EX)$ .

定义2.4.1 考虑二叉树资产定价模型。设 $M_{0}, M_{1}, M_{2}, ..., M_{N}$ 为随机变量序列，每个 $M_n$ 只依赖前 $n$ 次抛掷硬币（ $M_0$ 为常量）。这样的随机变量序列称为适应随机过程。
若满足 $M_{n} = E_{n}[M_{n+1}]$ ，则这个过程为鞅；若 $M_{n} \geq E_{n}[M_{n+1}]$ ，这个过程为上鞅（递减趋势）；若 $M_{n} \leq E_{n}[M_{n+1}]$ ，这个过程为下鞅（递增趋势）。

定理2.4.4 考虑一般的二叉树模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，设风险中线概率如下给出：
$\tilde p = \frac{1 + r - d}{u - d}, \tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}$
那么在风险中性测度下，贴现股票价格过程是一个鞅，即式 $\frac{S_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[\frac{S_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}]$ 在每个时刻 $n$ 对任意的抛掷硬币结果序列成立。

定理2.4.5 考虑 $N$ 时段的二叉树模型。设 $\Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{N-1}$ 为适应过程， $X_0$ 为实数， $X_0, X_1, \dots, X_N$ 为由式
$X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \Delta_nS_n), n=0,1,\dots, N-1$ 递归产生的财富过程，那么，贴现财富过程 $\frac{X_n}{(1+r)^n}, n = 0, 1, \dots, N$ 为风险中性测度下的鞅，即：
$\frac{X_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[ \frac{X_{n+1}}{(1+r)^{n+1}} ]$

定理2.4.7 (风险中性定价公式) 考虑 $N$ 时段二叉树资产定价模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，并且存在风险中性概率测度 $\tilde P$ 。设 $V_N$ 是一个随机变量（衍生证券在时刻 $N$ 的支付），它依赖于抛掷硬币的结果。那么，对于0到 $N$ 之间的 $n$ ，衍生证券在时刻 $n$ 的价格由风险中性定价公式 $V_n = \tilde E_n[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}]$ （其中 $V_n$ 的定义和定理1.2.2中 $V_n$ 的定义一致）给出。进一步，在 $\tilde P$ 之下，衍生证券的贴现价格是一个鞅，即：
$\frac{V_n}{(1+r)^n}=\tilde E_n[\frac{V_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}], n = 0, 1,\dots, N-1$

定理2.4.8 (现金流定价) 考虑 $N$ 时段二叉树资产定价模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，并且存在风险中性概率测度 $\tilde P$ 。设 $C_0,C_1,\dots, C_N$ 为随机变量序列，其中 $C_n$ 只依赖于 $w_1\dots w_n$ 。在时刻 $n, \dots, N$ ，相应的支付分别为 $C_n, \dots, C_N$ 的衍生证券在时刻 $n$ 的价格为：
$V_n = \tilde E_n [\sum^N_{k=n} \frac{C_k}{(1+r)^{k-n}}], n = 0, 1, \dots, N$
价格过程 $V_n, n = 0, 1, \dots, N$ 满足：
$C_n(w_1\dots w_n) = V_n(w_1\dots w_n) - \frac{1}{1+r}[\tilde p V_{n + 1}(w_1\dots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1\dots w_nT)]$
定义：
$\Delta_n(w_1 \dots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -V_{n+1}(w_1 \dots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -S_{n+1}(w_1 \dots w_nT)}$
其中 $n$ 在0到 $N-1$ 之间变化。如果我们令 $X_0 = V_0$ ，并按时间前向递归定义资产组合价值过程 $X_1, X_2, \dots, X_N$ 如下：
$X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1+r)(X_n - C_n - \Delta_n S_n)$
则对所有 $n$ 和 $w_1 \dots w_n$ ，我们有：
$X_n (w_1 \dots w_n)= V_n(w_1 \dots w_n)$

定义2.5.1 马尔可夫过程：考虑二叉树定价模型。设 $X_0, X_1,..., X_N$ 为适应过程，如果对每个 $0$ 到 $N-1$ 之间的 $n$ 以及每个函数 $f(x)$ ，存在另一个函数 $g(x)$ （依赖于 $n$ 和 $f$ ），使得： $E_{n}[f(X_{n+1})]=g(X_n)$ ，则 $X_0, X_1,..., X_N$ 是一个马尔可夫（Markov）过程。

定理2.5.8（非路径依赖衍生证券定价） 设 $X_0, X_1, \dots , X_N$ 为二叉树模型中的风险中性概率测度 $\tilde P$ 下的马尔可夫过程。设 $v_N(x)$ 为一个哑变量 $x$ 的函数，考虑一个在时刻 $N$ 的支付为 $v_N(X_N)$ 的衍生证券。那么，对于每个0到 $N$ 之间的 $n$ ，衍生证券的价格 $V_n$ 为 $X_n$ 的某个函数 $v_n$ ，即：
$V_n = v_n(X_n), n = 0, 1, \dots , N$
存在一个计算 $v_n$ 的递归算法，确切的公式依赖于基本的马尔可夫过程 $X_0, X_1, \dots , X_N$ 。对于多维马尔可夫过程，类似结果也成立。

引入马尔可夫过程，将衍生证券的价格和股票的价格通过函数 $v_n$ 联系起来，这样做可以计算非路径依赖的衍生证券的价格。

资产定价第一基本定理：如果一个模型中存在一个风险中性测度，那么这个模型中就不存在套利。

状态价格

定理3.1.1 Radon-Nikodym导数性质 设 $P$ 和 $\tilde P$ 是有限样本空间 $\Omega$ 上的两个概率测度，对任意的 $\omega \in \Omega$ ， $P(\omega) > 0$ ， $\tilde P(\omega) > 0$ ，定义随机变量 $Z(\omega) = \frac{\tilde P(\omega)}{P(\omega)}$ 。我们有：
(i) $P(Z>0) = 1;$
(ii) $EZ = 1;$
(iii) 对任意的随机变量 $Y$ ，有 $\tilde EY = E[ZY]$ .

定义3.1.3 状态价格密度和状态价格 P57 考虑 $N$ 时段二叉树模型，设真实概率测度为 $P$ ，风险中性概率测度为 $\tilde P$ 。 $Z$ 表示 $\tilde P$ 关于 $P$ 的Radon-Nikodym导数，即：
$Z(w_1 \dots w_N) = \frac{\tilde P(w_1 \dots w_N)}{P(w_1 \dots w_N) } = ++++++++++++$

Radon-Nikodym导数：有限样本空间 $\Omega$ 两个概率测度 $P$ , $\tilde{P}$ ，则 $Z(w) = \frac{\tilde{P}}{P}$ 为Radon-Nikodym导数。
Radon-Nikodym导数的性质：设和是有限样本空间上的两个概率测度，对任意的, , , 定义随机变量, 有：
1. $P(Z > 0) = 1$ ;
2. $EZ = 1$ ;
3. 对任意的随机变量Y，有 $\tilde EY = E[ZY]$ .

第二卷

布朗运动

对称随机游动：接连抛掷一枚均匀的硬币（正面反面概率均为 $\frac{1}{2}$ ），抛掷结果记为 $w = w_1 w_2 w_3 \dots$ . $w_n$ 是第 $n$ 次抛掷硬币的结果，定义
$X_j = \left\{ \begin{aligned} 1, \ &如果w_j = H\\ -1, \ &如果w_j = T \end{aligned} \right.$
并且定义 $M_0 = 0$ 以及 $M_k = \sum_{j = 1}^k X_j, k = 1, 2, \dots$ ，则过程 $M_k(k = 0, 1, 2, \dots)$ 是一个对称随机游动。
对称随机游动具有独立增量，即对于非负整数 $0 = k_0 < k_1 < \dots < k_m$ ，随机变量 $M_{k_1} = (M_{k_1} - M_{k_0}), (M_{k_2} - M_{k_1}), \dots , (M_{k_m} - M_{k_{m-1}})$ 是两两独立的。每个随机变量 $M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}} = \sum_{j = k_i+1}^{k_{i+1}}X_j$ 称为随机变量的增量。
每个增量 $M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}}$ 具有期望0和方差 $k_{i+1} - k_{i}$ .
对称随机游动是鞅。
对称随机游动的二次变差：截至时刻 $t$ 的二次变差定义为：
$[M, M]_k = \sum_{j = 1}^{k} (M_j - M_{j-1})^2 = k$
（可以发现，对称随机游动的二次变差等于其方差( $Var(M_k)$ )；但是，如果随机游动非对称，会影响其方差的值，从而导致其二次变差和方差不相等。）
按比例缩小型对称随机游动：固定正整数 $n$ ，定义：
$W^{(n)}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}$
其中， $nt$ 为正整数。（后面可以看到，研究该随机过程，主要是为了后面引出布朗运动，因为令 $n \rightarrow \infty$ ，取极限，将得到一个布朗运动）
定理3.2.1 （中心极限定理） 固定 $t \geq 0$ ，按比例缩小型随机游动 $W^{(n)}(t)$ 在时刻 $t$ 取值的分布当 $n \rightarrow \infty$ 时收敛于均值为 $0$ 、方差为 $t$ 的正态分布。（该定理的证明用到了矩母函数的概念）
定理3.2.2 （对数正态分布作为二叉树模型的极限） 时刻t的股价 $S_n(t) = S(0)u^{H_{nt}}_{n} d_{n}^{T_{nt}} = S(0)(1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt + M_{nt})}(1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt - M_{nt})}$ （该式通过定义 $u_n = 1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ， $d_n = 1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 和时刻 $t$ 的股价由初始股价 $S(0)$ 以及前 $nt$ 次硬币抛掷的结果确定，这三个条件推导而出）。
当 $n \rightarrow \infty$ 时，上式中 $S_n(t)$ 的分布收敛于 $S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2} \sigma ^ 2t}$ （该分布是个对数正态分布）的分布，其中 $W(t)$ 是均值为 $0$ 、方差为 $t$ 的正态随机变量。
个人理解，该定理的意思是，固定 $t$ ，即在每一时刻下，来对 $W(t)$ 和 $S(t)$ 的分布进行研究，即可以将 $t$ 看做是常数。
对数正态分布：任何形如 $ce^X$ （其中 $c$ 是常数， $X$ 服从正态分布）的随机变量被称为具有对数正态分布。
布朗运动 设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空间。对每个 $\omega \in \Omega$ ，假设存在依赖于 $\omega$ 的，满足 $W(0) = 0$ 的连续函数 $W(t) (t \geq 0)$ 。则 $W(t) (t \geq 0)$ 是一个布朗运动，如果对所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ，增量
$W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots , W(t_m) - W(t_{m - 1})$ 两两独立，每个增量服从正态分布，并且
$\mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0$
$Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}$ .
（这里需要注意的是，布朗运动是连续的函数，但是不可导。）
定理3.3.2 （布朗运动的等价刻划）设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空间。对每个 $\omega \in \Omega$ ，假设存在依赖于 $\omega$ 的，满足 $W(0) = 0$ 的连续函数 $W(t) (t \geq 0)$ ，则一下三条性质等价：
（i）对所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ，增量
$W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots, W(t_m) - W(t_{m - 1} )$ 两两独立，每个增量服从正态分布，并且均值和方差由式 $\mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0$ 和式 $Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}$ 给出。
（ii）对所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ， $W(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)$ 为联合正态随机变量，均值为 $0$ ，并且协方差矩阵为xxxx.
（iii）对所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ， $W(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)$ 具有联合矩母函数xxxx.
（这个定理，只证明了(i) $\rightarrow$ (ii)，(i) $\rightarrow$ (iii)），至于为什么(ii) $\rightarrow$ (i)和(iii) $\rightarrow$ (i)，可能是需要了解协方差矩阵和矩母函数的相关性质。
定义3.3.3 设 $W(t)(t \geq 0)$ 是定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上的布朗运动。布朗运动的域流是满足下列条件的一族 $\sigma$ -代数 $F(t)(t \geq 0)$ ：
(i) （信息积累）对于 $0 \leq s <t, \mathcal{F}(t)$ 中的每一个集合也在 $\mathcal{F}(t)$ 中。换言之，在较后时刻所获得的信息 $\mathcal{F}(t)$ 至少包括较早时刻已获得的信息 $\mathcal{F}(s)$ .
(ii)（适应性）对每个 $t \geq 0$ ，在时刻 $t$ ，布朗运动 $W(t)$ 是 $\mathcal{F}(t)$ 可测的。换言之，在时刻 $t$ 所获得的信息足以确定布朗运动 $W(t)$ 在该时刻的值。
(iii) （未来增量的独立性）对于 $0 \geq t < u$ ，增量 $W(u) - W(t)$ 独立于 $\mathcal{F}(t)$ ，换言之，时刻 $t$ 以后布朗运动的任何增量都与时刻 $t$ 所获得的信息无关。
定理3.3.4 布朗运动是鞅。
定义3.4.1（连续函数二次变差的定义） 设 $f(t)$ 是关于 $0 \leq t \leq T$ 有定义的函数。截至时刻 $T$ ， $f$ 的二次变差为：
$[f, f](T) = \mathop{lim}\limits_{||\Pi|| \rightarrow 0}\sum\limits_{j = 0}^{n-1}[f(t_{j+1}) - f(t_j)]^2$
其中 $\Pi = {t_0, t_1, \dots, t_n}$ 并且 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T$ .
（如果f有连续的导数，则其二次变差为0。其证明需要用到微分中值定理。另外，定理里面对于 $\Pi$ 的定义好像有问题吧……）
定理3.4.3 设 $W$ 是布朗运动，则对所有 $T \geq 0$ ， $[W, W](T) = T$ 几乎必然成立。
（该定理的证明用到了均方收敛的概念，即布朗运动的二次变差 $Q_{\Pi} = \sum_{j=0}^{n-1}(W(t_{j+1}) - W(t_j))^2$ 在 $\Pi \rightarrow 0$ 时，其期望值为 $T$ ,其方差收敛于0，从而无论路径如何，它都收敛于期望值T。）
（随机变量的各种收敛性，之间的差别？？）
由该定理可以引出： $dW(t)dW(t) = dt$ ， $dW(t)dt = 0$ ， $dtdt= 0$ ，书里面没有详细的证明，详细的证明应该超纲了，需要查更详细的资料。
由于 $[W, W](T_2) - [W, W](T_1) = T_2 - T_1$ ，因此，布朗运动在单位时间内累积二次变差的速率为1。
几何布朗运动 设 $\alpha$ 和 $\sigma >0$ 是常数，定义几何布朗运动
$S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) + (\sigma - \frac{1}{2}\sigma^2) }$ .
里面的 $\sigma$ 是几何布朗运动的实现波动率，即
$\frac{1}{T_2 - T_1} \sum_{j=0}^{m-1}(log \frac{S(t_{j+1})}{S(t_j)})^2\approx \sigma^2$
定理3.5.1 设 $W(t)$ , $t \geq 0$ 是布朗运动， $\mathcal{F}(t)，t \geq 0$ 是关于该布朗运动的域流，则 $W(t), t \geq 0$ 是马尔可夫过程。
这个定理的证明里面用到了一个转移密度的概念：
布朗运动的转移密度 $p(\tau, x, y)$ 为 $p(\tau, x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \tau}}e^{ - \frac{(y-x)^2}{2 \tau}}$ .
定理3.6.1（指数鞅） 设 $W(t)$ , $t \geq 0$ 是布朗运动， $\mathcal{F}(t)，t \geq 0$ 是关于该布朗运动的域流， $\sigma$ 是常数，则式
$Z(t) = e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2}\sigma^2 t}$
中的过程 $Z(t), t \geq 0$ 是鞅。
给定常数 $\sigma$ ，相应于 $\sigma$ 的所谓指数鞅即上式中定义的 $Z(t)$ 。
布朗运动的首达时间 设 $m$ 是实数，定义水平 $m$ 的首达时间为： $\tau _m = min\{t \geq 0; W(t) = m\}$ 这是布朗运动 $W$ 达到水平 $m$ 的第一时间。
定理3.6.2 对于 $m \in \mathbb{R}$ ，布朗运动关于水平 $m$ 的首达时间几乎必然有限，并且其分布的拉普拉斯（Laplace）变换为：
$\mathbb{E} e^{-\alpha \tau_m} = e^{-|m| \sqrt{2\alpha}}, \ \forall \alpha > 0$
为啥又和拉普拉斯变换扯到一起了？？？？没搞明白

3.7 反射原理的东西，暂时用不到（略）

随机分析

伊藤积分的作用，其实就是为了求资产组合的价值， $\int_0^T \Delta(t)dW(t)$ 中的 $\Delta(t)$ 是时刻 $t$ 持有资产的头寸， $W(t)$ 看做每份资产在时刻 $t$ 的价格。

伊藤积分 一般地，如果 $t_k \geq t \geq t_{k+1}$ ，则：
$I(t) = \sum_{j = 0}^{k -1}\Delta(t_j)[W(t_{j+1}-W(t_j)] + \Delta(t_k)[W(t)-W(t_k)]$ 中的过程 $I(t)$ 就是简单过程 $\Delta(t)$ （简单过程说白了就是每个时间区间里都是常数的过程）的伊藤积分，记为：
$I(t) = \int_0^T\Delta(u)dW(u)$
定理4.2.1 由上式定义的伊藤积分是一个鞅。
定理4.2.2（伊藤等距） 上面定义的伊藤积分满足：
$\mathbb{E} I^2(t) =\mathbb{E} \int _0^T \Delta^2(u)du$
定理4.3.1 设 $T$ 是正数， $\Delta(t), 0 \leq t \leq T$ 是满足式 $\mathbb{E}\int_0^T\Delta ^2(t)dt < \infty$ 的适应随机过程。则 $I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u) = \mathop{lim}_{n \rightarrow \infty}\int_0^t\Delta_n(u)dW(u), 0 \leq t \leq T$ 具有以下性质：
(i) （连续性）作为积分上限 $t$ 的函数， $I(t)$ 的路径连续。
(ii)（适应性）对每个 $t, I(t)$ 为 $\mathcal{F}(t)$ -可测。
(iii)（线性性）如果 $I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u), J(t) = \int_0^t\Gamma(u)dW(u)$ ，则 $I(t) \pm J(t) = \int_0^t(\Delta(u) \pm \Gamma(u))dW(u)$ ；对任意常数 $c, cI(t) =\int_0^t c\Delta(u) dW(u)$ 。
(iv)（鞅性质） $I(t)$ 是鞅。
(v)（伊藤等距） $\mathbb{E}I^2(t) = \mathbb{E}\int_0^t\Delta^2(u)du$ 。
(vi)（二次变差） $[I, I](t) = \int_0^t \Delta^2(u)du$ 。
定理4.4.1（关于布朗运动的伊藤-德布林公式） 设函数 $f(t, x)$ 的偏导数 $f_t(t,x), f_x(t, x)$ 和 $f_{xx}(t, x)$ 都有定义并且连续， $W(t)$ 是布朗运动，则对于每个 $T \geq 0$ ，有：
$f(T, W(T)) = f(0, W(0)) + \int_0^Tf_t(t, W(t))dt + \int_0^Tf_x(t, W(t))dW(t) + \frac{1}{2}\int_0^Tf_{xx}(t, W(t))dt$
（伊藤-德布林公式的证明需要用到泰勒展开。这里需要注意，对于伊藤德布林公式的微分形式，其实并没有数学含义，因为布朗运动是不可导的，故不可微，书里面的微分形式只是为了方便计算和记忆。）

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