函数法解圆锥曲线中的最值和范围问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-05-19 08:17 被阅读0次

函数法解圆锥曲线中的最值和范围问题
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方法五函数法

函数法解圆锥曲线中的最值和范围问题

解题步骤：

第一步把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
第二步通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.

【例】已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点.
（1）若 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$ ，求直线 $AB$ 的斜率；
（2）设点 $M$ 在线段 $AB$ 上运动，原点 $O$ 关于点 $M$ 的对称点为 $C$ ，求四边形 $OACB$ 面积的最小值.

【解析】
（1）依题意可设直线 $AB:x=my+1$ ，

将直线 $AB$ 与抛物线联立 $\begin{cases}x=my+1 \\y^2+4x\end{cases} \Rightarrow y^2-4my-4=0$

设 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$

由韦达定理 $\begin{cases}y_1+y_2=4m \\y_1y_2=-4\end{cases}$

$\because \overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB} \Rightarrow y_1=-3y_2 \Rightarrow m^2=\dfrac{1}{3}$

$\therefore$ 斜率为 $\sqrt{3}$ 或 $-\sqrt{3}$ .

（2） $S_{OACB}=2S_{\triangle AOB}=2\cdot \dfrac{1}{2} |OF||y_1-y_2|$

$=|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}$

$=\sqrt{16m^2+16} \geqslant 4$ ，
当 $m=0$ 时，四边形 $OACB$ 的面积最小，最小值为 $4$ ．

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