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【表情包题-1】

【表情包题-1】

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-07-29 15:22 被阅读0次
表情包.png

在某群看到有人问，我第一次见这题是在自己的群里有人发这个表情包，用两次stolz即可
Sol：
\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\ln C_{n}^k}{n^2}\\ \overset{stolz}{=}&\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\ln C_{n+1}^k-\sum_{k=0}^{n}\ln C_{n}^k}{(n+1)^2-n^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\ln C_{n+1}^k-\sum_{k=0}^{n}\ln C_{n}^k}{2n+1}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\ln\dfrac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}-\sum_{k=0}^{n}\ln\dfrac{n!}{k!(n-k!)}}{2n+1}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\ln\dfrac{n+1}{n+1-k}}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\dfrac{n+1}{n+1-k}}{2n+1}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle n\ln(n+1)-\ln(n!)}{2n+1}\\ \overset{stolz}{=}&\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\ln(n+1)-\ln(n!)-[(n-1)\ln n-\ln[(n-1)!]}{2n+1-[2(n-1)+1]}\\ =&\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{2}\\ =&\dfrac{1}{2} \end{aligned}

不过在群里这么嚣张还是直接禁一天吧

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