iOS开发浮点数计算精度问题

1、浮点数运算带来的问题

CGFloat badnum = 1.05f;
NSLog(@"badnumX100 = %f",badnum*100);
//输出
//badnumX100 = 104.999995  

在日常工作中涉及到浮点数(float、double)的运算

2、浮点数运算精度的解决方案

NSDecimalNumber的实现

数字19.99表示方法

#define NSDecimalMaxSize (8)
    // Give a precision of at least 38 decimal digits, 128 binary positions.

#define NSDecimalNoScale SHRT_MAX

typedef struct {
    signed   int _exponent:8;//幂指数
    unsigned int _length:4;     // length == 0 && isNegative -> NaN
    unsigned int _isNegative:1;//符号
    unsigned int _isCompact:1;
    unsigned int _reserved:18;
    unsigned short _mantissa[NSDecimalMaxSize];//存储数据
} NSDecimal;

使用NSDecimalNumber进行浮点数的运算

    //100.0转化成NSDecimalNumber
    NSDecimalNumber *g_100 = [NSDecimalNumber decimalNumberWithString:@"100"];
    //1.05转化成NSDecimalNumber
    NSDecimalNumber *g_105 = [NSDecimalNumber decimalNumberWithString:@"1.05"];
    //两个数相乘 1.05X100
    NSDecimalNumber *goodnum = [g_105 decimalNumberByMultiplyingBy:g_100];
    NSLog(@"goodnum 1.05X100 = %@",goodnum);

    //输出
    //goodnum 1.05X100 = 105

浮点数判等

由于浮点数内部存储地不精确，在比较两个浮点数是否相等时，不能简单地使用 == 符号来判断。
判断两个浮点数 A, B 是否相等，需要转化成求这两个浮点数差的绝对值 C，即 C = fabs(A - B)，然后看这个值 C 是否小于一个极小数。
如果小于一个极小数，则可以认为这两个浮点数是相等的。
根据实际工程中的需要，通常这个极小数的参考值是 1e-6 或 1e-8 。

3、浮点数在计算机中的存储方式导致精度问题

浮点数在计算机中的存储方式

不论是 float 类型还是 double 类型，在存储方式上都是遵从IEEE的规范：

float 遵从的是 IEEE R32.24；double 遵从的是 IEEE R64.53；

单精度或双精度在存储中，都分为三个部分：

符号位 (Sign)：0代表正数，1代表为负数；
指数位 (Exponent)：用于存储科学计数法中的指数数据；
尾数部分 (Mantissa)：采用移位存储尾数部分；

单精度和双精度的存储方式.png

R32.24 和 R64.53 的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如：

8.25 用十进制表示为：8.25 X
120.5 用十进制表示为：1.205 X

而计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0和1。所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示：

8.25 用二进制表示为：1000.01 可以表示为1.0001 X
120.5 用二进制表示为：1110110.1 可以表示为1.1101101 X

任何一个数的科学计数法表示都为1. xxx * 2n ，尾数部分就可以表示为xxxx，由于第一位都是1，所以将小数点前面的1省略。由此，23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里。

对于指数部分，因为指数可正可负(占1位)，所以8位的指数位能表示的指数范围就只能用7位，范围是:-127至128。所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据 加上 127。

元数据 加上 127：

“指数”从00000000开始（表示-127）至11111111（表示+128）
所以，10000000表示指数1 (127 + 1 = 128 --> 10000000 ) ；
指数为 3，则为 127 + 3 = 130，表示为 01111111 + 11 = 10000010 ；

8.25二进制存储.png 120.5二进制存储.png

二进制反推出浮点数：
如下内存数据：01000010111011010000000000000000，
将该数据分段：0 10000101 11011010000000000000000

image

计算出这样一组数据表示为：

1101101*10^(133-127=6) =1.1101101 * 2⁶ = 1110110.1=120.5

2.2和2.25的区别

单精度的 2.2 转换为双精度后，精确到小数点后13位之后变为了2.2000000476837
而单精度的 2.25 转换为双精度后，变为了2.2500000000000

2.25**** 的单精度存储方式表示为：0 10000001 00100000000000000000000

2.25**** 的双精度存储方式表示为：0 10000000 0010010000000000000000000000000000000000000000000000000

这样 2.25 在进行强制转换的时候，数值是不会变的。

**将十进制的小数转换为二进制的小数的方法是：****将小数*2****，取整数部分。**

   0.2×2=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0；

   0.4×2=0.8，第二位为0.8的整数部分0；

   0.8×2=1.6，第三位为1；

   0.6×2=1.2，第四位为1；

   0.2×2=0.4，第五位为0；

   ...... 这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011...

对于单精度数据来说，尾数只能表示 24bit 的精度，所以2.2的 float 存储为:

2.2的二进制存储

但是这种存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2。

因为在十进制转换为二进制的时候可能会不准确（如：2.2），这样就导致了误差问题！

并且 double 类型的数据也存在同样的问题！

所以在浮点数表示中，都可能会不可避免的产生些许误差！

在单精度转换为双精度的时候，也会存在同样的误差问题。