电磁学乱七八糟的符号(二)

作者: 今日你学左米啊 | 来源:发表于2019-07-21 22:08 被阅读0次

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电磁学乱七八糟的符号(二)

@(study)[Maxe, markdown_study, LaTex_study]
author:何伟宝

前言:第五章开始因为要大量考虑介质的各种媒质常数,所以一定要分清公式的使用范围!
还有特定关系的前提和假设

[TOC]

chapter5电磁波的传播(TEM,理想介质)

波动方程

因为这里和上一篇blog有出入,重写一次:
$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$
$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$
由于 $\partial E 和\partial H$ 极其难算,所以上式为一般波动方程
在理想介质中( $\sigma=0$ )(空气)下,一般波动方程退化为齐次非含源项波动方程:
$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$
$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$
在真空中有:

光速c

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$
$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$
其中光速c:
$c=\frac1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^{-8}(m/s)$

取齐次非含源项波动方程复数化有:

波数&&相位常数k(同一个东西)

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-k^2\vec E(\vec r)=0$
$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-k^2\vec H(\vec r)=0$
其中波数:
$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac \omega v$
由TEM的瞬时通解可以知道,k表示波传播单位距离的空间相位变化,又称相位常数:
$k=\frac {2\pi}{\lambda}$

TEM波动方程

引入平面电磁波(TEM)约束:
$\begin{cases} E_z=0,H_z=0 \quad 在z=c处\\ \frac \partial{\partial x}=0 ,\frac \partial{\partial y}=0 \ \end{cases}$
代入波动方程可得到:
$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+k^2 E_x =0$
$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+k^2 H_y =0$
通解形式(瞬时):
$E_x(z,t)=Re[E_x(z)e^{j\omega t}]=E^+_{x0} cos(\omega t -kz)$

角频率 $\omega$

角频率: $\omega$ 表示单位时间内时间相位变化
$\omega T=2\pi \\f=\frac1 T =\frac \omega{2\pi}$

相速 $v_p$

相速 $v_p$ 表示等相面移动的速度:
$v_p=\frac {dz}{dt}=\frac \omega k = \frac1 {\sqrt{\mu \varepsilon}}$

传播特性&&时均坡印亭矢量(计算用)

若已知E,求H,有:
$E(z)=a_x E^+_{x0}e^{-jkz}$
$H_y(z,t)=\frac 1\eta E^+_{x0}cos(\omega t-kz)$
所以同理,时均坡印亭矢量 $S_{av}$ 可以写成:
$S_{av}=\frac 12 Re(\vec E \times \vec H^*)=\vec a_z \frac1 {2\eta E_x^2}$

波阻抗 $\eta$

重写, $\eta$ 又称本征阻抗或特性阻抗,单位是 $\Omega$
$\eta=\sqrt{\frac \mu\varepsilon}$

能速 $v_e$

在均匀平面电磁波中有能速:
$\frac {\vec S_{av}}{\omega_{av}}=\vec a_z \frac 1{\sqrt{\varepsilon\mu}} =v_e$
其中 $\omega_{av}$ 表示时均电磁能流密度,变形为 $S_{av}=v_{av}\omega_{av}$ 则有:
空间某点的时均能流密度是以速度 $v_e$ 运动的时均能量密度 $\omega_{av}$ ,所以称 $v_e$ 为能速

特别地,在理想介质中, $v_e=v_{p}$

平面电磁波,导电媒质

在这里考虑的重点在于 $\sigma \neq 0$ 所以波动方程不能像上面一样化简
由于这一节概念多,会配以理解

TEM波动方程

回归最原始的波动方程:
$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$

用复数形式表示后,用类理想介质的齐次方程表示为:
$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+\vec k^2_c E_x =0$
$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+\vec k^2_c H_y =0$
注意到,因为右边的是一次项,微分下来会让k变成一个复数

复波数 $k_c$ &&复电容率 $\varepsilon_c$

$k_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c} , \varepsilon_c = (\varepsilon - j\frac \sigma\omega)=\varepsilon^` -j\varepsilon^{``}$
由于复电容率的更新,导致理想介质中的很多参数都复数化了,所以会有新的拓展

复传播常数 $\gamma$ &&衰减常数 $\alpha$ &&相位常数 $\beta$

$\gamma=jk_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c}=\alpha +j\beta$
其中:
$\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}-1]}$
$\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}+1]}$
是有点复杂,但是到后面的良导体良介质会化简!
注意到这里的相位常数不再等于波数了.(虽然后面用起来还是很像的)

对于TEM来说,波动方程可退化为:
$\frac {d^2 E_x}{dz^2}-\gamma^2 E_x =0$
$\frac {d^2 H_y}{dz^2}-\gamma^2 H_y =0$
简单的微分方程求解得:
$E(z)=\vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$
$H_y(z,t)=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z} = \frac 1 {|\eta_c|} \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z+\phi}$

复波阻抗&&复本征阻抗 $\eta_c$

$\eta_c=\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{j\phi}$
其中:
$|\eta_c|=(\frac \mu\varepsilon)^{\frac 12}[1+(\frac {\sigma}{\omega \varepsilon})^2]^{- \frac14}$
$\phi=\frac 12 arctan(\frac \sigma{\omega\varepsilon})$

相速 $v_p$ &&色散波

$v_p=\frac \omega\beta=\frac1 {\varepsilon_c \mu}=\frac1 {\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})}}$
可以看出这里的相速会和频率有关,所以这种波称为色散波,相应导电媒质称为色散媒质

良导体和良介质的判定

$\frac{\vec J}{\vec J_d} \sim \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \begin{cases} \gg 1,\quad 良导体 \\ \ll 1,\quad 良介质 \end{cases}$

平面电磁波,良导体

传播常数 $\gamma$

$\gamma=jk_c=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\frac{\mu\sigma}{j\omega}}=\frac{1+j}{\sqrt2} \sqrt{\omega \mu\sigma}$

衰减常数&&相位常数

$\alpha \approx \beta \approx \sqrt{\pi f \mu\sigma}=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$

复波阻抗

$\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac {j\omega\mu}{\sigma}}=(1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}=e^{j\frac\pi 4}\sqrt{\frac {2\pi f \mu}{\sigma}}$

相速

$v_p=\frac \omega\beta=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon_c}}}=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon}(1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})}} \approx \sqrt{\frac {2\omega}{\mu\sigma}}$

趋肤深度 $\delta$

由上述可知:
$a\sim f,\mu,\sigma$
所以在良导体中,电磁波很快就衰减完了,电磁波仅局限于道题表面附近区域,称为趋肤效应,故有趋肤深度 $\delta$ :
$\delta =\frac1a =\sqrt{\frac2 {\omega\mu\sigma}}=\frac 1{\sqrt{\pi f \mu\sigma}}$
在良导体中:
$\delta=\frac1\beta=\frac\lambda {2\pi}$

表面阻抗和表面电抗

$\eta_c=R_S+jX_S \approx (1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}$
其中 $R_S$ 表面阻抗和 $X_S$ 表面电抗,相应 $Z_S$ 称为表面阻抗,所以有:
$R_S=X_S=\sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}}=\frac1{\sigma\delta}$

平面电磁波,良介质

因为前面就讲过理想介质,所以这个没多少

传播常数

$\gamma=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\mu\sigma}=(1-j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})$

衰减常数

$\alpha \approx \frac\sigma 2\sqrt{\frac \mu\varepsilon}$

相位常数

$\beta \approx \omega \sqrt{\mu\varepsilon}$

复波阻抗

$\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac\mu\varepsilon}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})$

任意方向传播的均匀平面电磁波

波数矢量&&位置矢量

$\vec E(\vec r)=\vec E^+_0 e^{-j\vec k\bullet \vec r}=\vec E^+_0e^{-j k\vec a_n\bullet \vec r}$
其中k为波数矢量,又称传播矢量,r称为位置矢量

平面电磁波,极化

以合成波电场强度与x轴夹角 $\alpha$ 分类:

线极化波

$\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})=C$

圆极化波

$\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})= arctan(\frac {\mp E_{0}sin\omega t}{E_{0}cos\omega t})=arctan(\mp tan\omega t)=\mp \omega t$

椭圆极化波

$\alpha =arctan (\mp \frac {E_{y0}}{E_{x0}}tan \omega t) \neq \mp \omega t$

方向用 $\alpha$ 来判断也是可以的,在z正向下, $\alpha$ 为负右旋,为正左旋,其他类似

想我尽早更新的方法之一

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相速

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相速&&色散波

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相速

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