计算机数值表示

今天偶然碰到补码反码，才发现自己一直搞错了一个事实，n位二进制表示的原码，反码，补码范围是不一样的。于是重新在纸上画一画，总结总结。

以8位2进制为例：

为什么补码会比原码和反码多一个呢？8位2进制编码结果一共有256种。原码和反码127*2+1=255种，而补码是128+127+1=256种。问题是出在0上。

• 原码：
  0000 0000 ~ 0111 1111 ： 0 ~ 127
  1000 0000 ： -0
  1000 0001 ~ 1111 1111： -1 ~ -127

• 反码：正数的反码和原码一致，负数的反码是原码除符号位以外取反
  0000 0000 ~ 0111 1111 ： 0 ~ 127
  1111 1111 ： -0
  1111 1110 ~ 1000 0000 ： -1 ~ -127

• 补码：正数的补码和反码一致，负数的补码是反码加1
  0000 0000 ~ 0111 1111 ： 0 ~127
  [1]0000 0000： -0
  1111 1111 ~ 1000 0001 ：-1 ~ -127
  注：[1]截断，则0和-0相同，和数学统一。

从上面可以看出：[+0]和[-0]的原码和反码都是不一样，而补码是一样的。所以原码和反码只有255个，补码多出一个编码1000 0000没有用，于是规定用这个来表示-128。

顺便在谈一点为什么计算机采用补码表示数值?

1. 因为原码和反码中0有2种编码规则，而补码只有一种。
2. 更重要的是看下面：
   • [1]原 - [1]原 = [1]原 + [-1]原：
     0000 0001 + 1000 0001 = 1000 0001 显然结果是错的。
   • [1]反 - [1]反 = [1]反 + [-1]反：
     0000 0001 + 1111 1110 = 1111 1111 = -0 在数学中0没有正负。
   • [1]补 - [1]补 = [1]补 + [-1]补：
     0000 0001 + 1111 1111 = [1]0000 0000 [1]截断，此时结果为0的补码。正确

从上面看出，补码运算时不需要考虑符号位的问题，符号位可以直接参与计算，且0的表示方式唯一不分正负，也是符合数理逻辑。

顺便说到，unsigned int使用有时候要注意：

// 伪代码
for (unsigned int8 n = 5; n >= 0; n--) {
    //...
}

这种写法应该是一种死循环，[0] - [1] = [0] + [-1] = 0000 0000 + 1111 1111 = 1111 1111。定义为unsigned时，编译器会采用无符号数来解释，于是[1111 1111]被解释为512。也就永远不会跳出循环。