高等代数理论基础11：多元多项式

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-23 07:49 被阅读45次

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NumPy 中的线性代数

多元多项式

单项式

定义：形式为 $ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 的式子称为一个单项式

其中, $a\in 数域P$ , $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是n个文字, $k_1,k_2,\cdots,k_n\in N$

$k_1+k_2+\cdots+k_n$ 称为单项式的次数

n元多项式

定义：一些单项式的和 $\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 称为n元多项式,简称多项式

多项式的次数：系数不为零的单项式的最高次数称为该多项式的次数

字典排列法

每一类单项式都一一对应一个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ ,其中 $k_i\in N$

单项式的先后顺序可以利用n元数组的先后顺序确定

n元数组先后顺序

对于两个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ , $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

若 $k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n$ 中第一个不为零的数为正

即有 $i\le n$ ,使得

$k_1-l_1=0,\cdots,k_{i-1}-l_{i-1}=0,k_i-l_i\gt 0$

则称n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 先于n元数组 $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

并记作 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

注：

1.对于任意两个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ , $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

以下三种关系中有且仅有一种成立

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)=(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)\lt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

2.关系" $\gt$ "有传递性,即

若 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(l_1,l_2,\cdots,l_n)\gt (m_1,m_2,\cdots,m_n)$

则 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (m_1,m_2,\cdots,m_n)$

可利用 $k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_1)$ 证明

首项

定义：按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项

注：

1.首项不一定有最大次数

2.n=1时,字典排列法可归结为以前的降幂排法

定理：当 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ , $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ 时,乘积 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项与 $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项的乘积

证明：

$设f(x_1,x_2,\cdots,x_n)的首项为$

$ax_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n},a\neq 0$

$g(x_1,x_2,\cdots,x_n)的首项为$

$bx_1^{q_1}x_2^{q_2}\cdots x_n^{q_n}$

$要证abx_1^{p_1+q_1}x_2^{p_2+q_2}\cdots x_n^{p_n+q_n}为fg的首项$

$只需证(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)$

$先于fg中其他单项式对应有序数组$

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)中$

$其他单项式对应有序数组为$

$(p_1+k_1,p_2+k_2,\cdots,p_n+k_n)$

$或(l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)$

$或(l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$其中$

$(p_1,p_2,\cdots,p_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(q_1,q_2,\cdots,q_n)\gt (k_1,k_2,\cdots,k_n)$

$显然$

$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (p_1+k_1,p_2+k_2,\cdots,p_n+k_n)$

$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)$

$(l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)\gt (l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$由传递性可得$
$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$即abx_1^{p_1+q_1}x_2^{p_2+q_2}\cdots x_n^{p_n+q_n}不可能与乘积中其他项同类相消$

$且先于其他所有项$

$\therefore 它是首项\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推论：若 $f_i\neq 0,i=1,2,\cdots,m$ ,则 $f_1f_2\cdots f_m$ 的首项等于每个 $f_i$ 的首项的乘积

推论：若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ , $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ ,则 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$

齐次多项式

定义：多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ ,若其中每个单项式都是m次的,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为m次齐次多项式