趣味数学：求一个复杂多边形的角度之和

问题

如图， 等于多少度？

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【解法一】

如图所示，连接 , 得到一个凸9边形（蓝色虚线）： 。其内角之和为：

以 为例，题目所关心的实际上是 .

形象地说，就是要从凸9边形的内角中减去绿色的锐角。而图中标为绿色的锐角与9个绿色的三角形有关。

每个绿色的三角形有两个锐角和一个钝角。以 为例，它有三个内角：.

因为对顶角相等，所以

9个绿色三角形的钝角所对应的9个角恰好是另外一个9边形（图中以橙色表示）的内角：

待求的9个角之和 = 大9边形的内角和 - ( 9个三角形的内角之和 - 小9边形的内角和 )

待求的9个角之和 = 大9边形的内角和 + 小9边形的内角和 - 9个三角形的内角之和

所以

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【解法二】

连接 . 可以得到两个凸五边形：

因为凸五边形的内角和等于 ，所以：

的内角和等于 , 所以：

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【提炼与提高】

本题解答过程中用到以下知识：

（1）三角形的内角和等于；

（2）有 条边的凸多边形的内角和等于；

（3）对顶角相等；

以上三点属于平面几何中入门级的知识，很多小学生都知道。关键在于应用知识解决具体问题的能力。具体说来就是：观察图形，把复杂的图形分解为简单的图形；把不熟悉的图形分解为若干个熟悉的图形的组合。

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