秩1矩阵性质汇总

作者: YERA | 来源:发表于2021-05-09 15:24 被阅读0次

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秩1矩阵在高代中有着极其重要的作用，熟练掌握秩1矩阵的性质可以使得我们在推导一些公式或做题过程中事半功倍，下面我整理了一些常用的秩1矩阵的性质。

首先我们明确，秩1矩阵形如以下形式：
$A = \alpha {\beta ^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{a_2}}\\ \vdots \\ {{a_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_n}} \end{array}} \right]$

一、基本性质

1. ${\beta ^T}\alpha = tr(A)$

2. ${A^2} = tr(A)A$ ${A^k} = {[tr(A)]^{k - 1}}A$

3. $A = {({a_{ij}})_{n \times n}}$ 的秩 $r(A) = n - 1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 ${({A^})^2} = k{A^}$ ，此时 $A^{*}$ 是秩1矩阵

4. $A = {({a_{ij}})_{2 \times 2}}$ ，则存在 $l \in N^{*}$ ，使得 $A^{l}=0$ ，则 $A^{2}=0$

二、特征值

1. $tr(A) \ne 0$ ， $A$ 的特征值为0（n-1重）， $tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}}$ (1重)

2. $tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} = 0$ ，则 $A$ 的特征值为0（n重）

$\left| {\lambda E - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {{a_2}}\\ \vdots \\ {{a_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_n}} \end{array}} \right]} \right| = {\lambda ^{n - 1}}(\lambda - tr(A))\$

3. $A = {({a_{ij}})_{n \times n}}$ 正定， $\alpha$ 是n维的非零实列向量， $B = A\alpha {\alpha ^T}$ 的特征值为0（n-1重）， ${\alpha ^T}A\alpha$ (1重)

三、对角化

$A$ 的最小多项式， $x(x - tr(A))$ ，当 $tr(A) \ne 0$ ， $A$ 可对角化；当 $tr(A) = 0$ ， $A$ 不可对角化

所以，存在可逆矩阵 $P$ ，使得

${P^{ - 1}}AP = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {tr(A)}&{}&{}&{}\\ {}&0&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&0 \end{array}} \right]$

特别的， $A = \alpha {\alpha ^T}(\alpha \ne 0)$ 是实对称阵，则 $A$ 一定可对角化

存在可逆矩阵 $P$

$P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{ - {a_2}}&{ - {a_3}}& \cdots &{ - {a_n}}\\ {{a_2}}&{{a_1}}&{}&{}&{}\\ {{a_3}}&{}&{{a_1}}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ {{a_n}}&{}&{}&{}&{{a_1}} \end{array}} \right]\$

使得

${P^{ - 1}}AP = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^T}\alpha }&{}&{}&{}\\ {}&0&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&0 \end{array}} \right]\$

PS: $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积， $(\alpha ,\beta ) = {\alpha ^T}\beta = {\beta ^T}\alpha \ne 0$ ，也可以说明 $A$ 可对角化

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