Gradient Descent Algorithm

梯度下降

梯度下降算法实际上是一种贪心算法，因此可以找到局部最优点，但是无法保证找到全局最优点。又由于深度学习中的loss函数通常不存在很多的局部最优点，并且还可以通过改变学习率来进行多次实验，因此可以采用梯度下降算法来解决大部分深度学习的问题。

MSE Loss函数的梯度下降算法

BGD(Batch Gradient Descent)

BGD 采用整个训练集的数据来计算 cost function 对参数的梯度。

import matplotlib.pyplot as plt
 
# prepare the training set
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
 
# initial guess of weight 
w = 1.0
 
# define the model linear model y = w*x
def forward(x):
    return x*w
 
#define the cost function MSE 
def cost(xs, ys):
    cost = 0
    for x, y in zip(xs,ys):
        y_pred = forward(x)
        cost += (y_pred - y)**2
    return cost / len(xs)
 
# define the gradient function  gd
def gradient(xs,ys):
    grad = 0
    for x, y in zip(xs,ys):
        grad += 2*x*(x*w - y)
    return grad / len(xs)
 
epoch_list = []
cost_list = []
print('predict (before training)', 4, forward(4))
for epoch in range(100):
    cost_val = cost(x_data, y_data)
    grad_val = gradient(x_data, y_data)
    w-= 0.01 * grad_val  # 0.01 learning rate
    print('epoch:', epoch, 'w=', w, 'loss=', cost_val)
    epoch_list.append(epoch)
    cost_list.append(cost_val)
 
print('predict (after training)', 4, forward(4))
plt.plot(epoch_list,cost_list)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('epoch')
plt.show()

SGD(Stochastic Gradient Descent)：随机梯度下降

随机梯度下降法在神经网络中被证明是有效的。效率较低(时间复杂度较高)，学习性能较好。和 BGD 的一次用所有数据计算梯度相比，SGD 每次更新时对每个样本进行梯度更新，对于很大的数据集来说，可能会有相似的样本，这样 BGD 在计算梯度时会出现冗余，而 SGD 一次只进行一次更新，就没有冗余，而且比较快，并且可以新增样本。
随机梯度下降法和梯度下降法的主要区别在于：
1、损失函数由cost()更改为loss()。cost是计算所有训练数据的损失，loss是计算一个训练函数的损失。对应于源代码则是少了两个for循环。
2、梯度函数gradient()由计算所有训练数据的梯度更改为计算一个训练数据的梯度。
3、本算法中的随机梯度主要是指，每次拿一个训练数据来训练，然后更新梯度参数。本算法中梯度总共更新100(epoch)x3 = 300次。梯度下降法中梯度总共更新100(epoch)次.

import matplotlib.pyplot as plt
 
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
 
w = 1.0
 
def forward(x):
    return x*w
 
# calculate loss function
def loss(x, y):
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y)**2
 
# define the gradient function  sgd
def gradient(x, y):
    return 2*x*(x*w - y)
 
epoch_list = []
loss_list = []
print('predict (before training)', 4, forward(4))
for epoch in range(100):
    for x,y in zip(x_data, y_data):
        grad = gradient(x,y)
        w = w - 0.01*grad    # update weight by every grad of sample of training set
        print("\tgrad:", x, y,grad)
        l = loss(x,y)
    print("progress:",epoch,"w=",w,"loss=",l)
    epoch_list.append(epoch)
    loss_list.append(l)
 
print('predict (after training)', 4, forward(4))
plt.plot(epoch_list,loss_list)
plt.ylabel('loss')
plt.xlabel('epoch')
plt.show()