2017-11-08

3．求和公式的代数方法

  （问题的提出）给定任意的多项式f（x）如，1，x，x𠆢2，x𠆢3，或者1/2·x（x－1），1/6·x（x－1）（x－2）等，怎样找出求和公式Sf(x)来计算下述级数之和，f(o)＋f(1)＋f(2)＋⋯十f(n－1)＝Sf(n)

对于n＝1，2，3，⋯皆成立．

分析：i)不妨先假设上述Sf(n)是n的多项式，则它满足下列特殊性质：

              Sf(n＋1)－Sf(n)＝f(n)

              Sf(0)＝0（零项的总和为0）

          ii）反之，假若有一个多项式Sf(x)满足条件Sf(0)＝0和Sf(X＋1)－Sf(x)＝f(x)

则f(0)＝Sf(1)－Sf(0)

  f(1)＝Sf(2)－Sf(1)

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

  f(n－1)＝Sf(n)－Sf(n－1)

即，f(0)＋f(1)＋⋯＋f(n－1)＝Sf(n)－Sf(0)＝Sf(n)

（K次）多项式求和定理：给出任何一个k次多项式f（x），存在一个唯一的（k＋1)次多项式Sf(x)它满足条件：Sf(0)＝0和Sf(x＋1)－Sf(x)＝f(x)，也即，f(0)＋f(1)＋⋯＋f(n－1)＝Sf(n)对于所有的n＝1，2，3，⋯皆成立．

(代数定理)一个K次多项式f(x)是可以由其(K＋1)个值｛f(i)；0<＝i<＝k｝所唯一确定的，而相应的求和公式Sf(x)是(k+1)次多项式，则需要由其（k＋2)个值所决定

下面我们采用一组特殊的多项式来解决这个问题。

  令      g。(x)＝1

            g1(x)＝x

            g2(x)＝1/2·x(x－1）

          ⋯      ⋯        ⋯    ⋯

          gk(x)＝1/k！·x(x－1)⋯(x－k＋1)

显然上述gk(x)满足gk(i)＝0（0＜＝i＜＝k－1）和gk(k)＝1，所以gk(n)的前k个总和皆为0（即Sgk(i)＝0，1＜＝i＜＝k），而第(k＋1)总和是1，即Sgk(k＋1)＝1。所以Sgk(x)＝gk＋1(x)，即gk(x)的求和公式Sgk(x)就是这个系列多项式的下一位成员，所以对于给定一个l次的多项式f(x)其求和公式Sf(x)可用下述方法有系统地确定之。

i)首先找一组系数C。，C1，C2，⋯Cl使得

f(x)＝C。g。(x)＋C1g1(x)＋⋯＋Clgl(x)

ii)然后，由分配律可得：Sf(x)＝C。·g1(x)＋C1·g2(x)＋⋯＋Ck·gk+1(x)＋⋯＋Cl·gl+1(x)

iii）确定系数Ck（0＜＝K＜＝l)，方法如下

C。＝）f(0)，f(1)，f(2)，⋯，f(l－1)，f(l)

    C1＝）亼f(0)，亼f(1)，⋯，亼f(l－1)

          C2＝)亼2f(0)，⋯，  亼2f(l－1/

                  ⋯⋯  ⋯⋯    ⋯⋯

                      Cl＝）亼lf0)

即下层的值是由上一层相邻的两个数值之差所得出的。