①行列式的概念、性质及其应用

一、基本概念

逆序
例如3,2,1,4中3-2就是逆序，2-1就是逆序，1-4是顺序。
该逆序数为：3-2，3-1,2-1。逆序数为3。
逆序数为奇数则为奇排列
逆序数为偶数则为偶排列

行列式，一定是n行n列，行列一致才叫行列式。

二、行列式的基本性质

1、行列式与转置行列式相等。
2、对调行列式的两行（或两列）行列式变为相反数。
3、行列式某行（或某列）有公因子，则可以提取。
4、行列式某行(或某列）为两数之和，则行列式可拆成两个行列式之和。
5、行列式某行的倍数加到另一行(或某列的倍数加到另一列），则行列式不变。
推论1：行列式某行（或某列）元素全为零，则行列式为零。
推论2：行列式两行（或两列）元素相同，则行列式为零。
推论3：行列式两行（或两列）元素成比例，则行列式为零。

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②行列式按行(列)展开

一、基本概念

在n阶行列式D中，如果划去i行j列 而形成的n-1阶行列式。
称M [ i ][ j ]元素a[ i ] [ j ]的余子式。
称A[ i ] [ j ]为元素a[ i ] [ j ]的代数余子式。

代数余子式

二、行列式按行(列)展开的性质

行列式展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其元素对应的代数余子式乘积之和。
即：元素乘本行本列的代数余子式=行列式的值。
行列式展开定理的重要推论：
推论:行列式某一行（列)的元素与另一行（列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。
即：元素乘非本行本列的代数余子式=0。

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③行列式的应用——克莱姆法则

1、n元齐次线性方程组（1）

2、n元非齐线性方程组（2）

定理1
对齐次线性方程组(1)
D ≠ 0的充要条件是方程组（1）只有零解。
D = 0的充要条件是方程组（1）有非零解。(未解决)
定理2
对非齐线性方程组(2)
D ≠ 0的充要条件是(2）有唯一解，且

实际上用b来代替第i列的系数。
D = 0的充要条件是(2)或者无解，或者有无数个解。

3、对角线法则

行列式=主对角线-副对角线

通常解决这种题目，我们都是将行列式展开，然后通过试根法或者因式分解之后，再求解。

4、如何确定行列式展开的正负号

当行列式的行数按顺序排放时
行列式中，若列标的逆序数是奇数的，带负号。
行列式中，若列标的逆序数是偶数的，带正号。

n阶排列，就n的阶乘种可能。
那么二阶行列式就有2！项相加减
那么三阶行列式就有3！项相加减

5、说明

（1）行列式的结果是一个数；
（2）当n=1时，|a₁₁|=a₁₁，与绝对值分开。
（3）二阶、三阶行列式有对角线法则，四阶及四阶以上的行列式没有对角线法则。

例： 已知a23a31a42a65a56a14是六阶行列式中的一项,试确定该项所带符号.
解：首先按行顺序排列。
a₁₄ a₂₃ a₃₁ a₄₂ a₅₆ a₆₅
所以列的逆序数为T=（4 3 1 2 6 5）=6，6是偶数
因此该行的所带符号为正。

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非零项组成上三角形，这种称之为上三角行列式。

非零项组成下三角形，这种称之为下三角行列式。
上三角行列式和下三角形行列式的结果都是主对角线相乘的值。
特殊情况：

对角行列式：（只有对角线项，其他为空）

7、行列式的转置

沿着主对角线做一个180度的对换，叫做D的转置
性质1 行列式与它的转置行列式相等．(故行列式对行有的性质对列也有)
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.

性质3 如果行列式两行（列）完全相同,则此行列式为0.

性质4 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式等于0.

性质6 若行列式中某一行（列）元素均为两数之和,则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和,其他各行保持不变.

注意：分拆时，每次只能按照一行或一列进行分拆。

性质7 把行列式的某一行（列)的各元素乘以同一数
然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式值不变.

8、习题

行列式计算的方法之一:任一n阶行列式均可以只经过行（列）变换化为上（下）三角形行列式

若行列式中各行元素之和相同，则可将各列加到第一列然后提取公因子再造零即可求解。

箭型行列式

考虑将其化成上三角形行列式或下三角形行列式求解。

若行列式中各列元素之和相同，则可将各行加到第一行然后提取公因子再造零即可求解。

拉普拉斯公式

8、行列式按行(列)展开

有关定理：
1.[引理]一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除外都为零，那么这个行列式等于aU与它的代数余子式的乘积,即D=a[i][j]*A[i][j]。 .
2.[拉普拉斯定理]行列式D等于它的任一行（列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和。

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但凡遇到一行中只有两个元素不是0的，直接化边展开来做。

利用性质将行列式D化为某行（某列)只有一个非零元素,然后按该行(列）将行列式展开. 造0来解决。

特点：第一行全是1，每列都等比，这就是范德蒙行列式的特点。
计算：X_i-X_j，i>j的连乘，X_i，X_j为第二行元素，
共有n-1+n-2+…+1项，等于（n-1）*n/2
A_ij和a_ij的大小无关，位置有关。

递推法 建立Dn与Dn-1之间的关系式，去递推。

（三对角线型行列式可以递推法求解。)