设一个矩阵不变为A，那么由A经过一组特征向量的作用，它会进行变换（旋转和缩放），而这个缩放的值被称为是特征值，描述增长或着减少的规模。

其实矩阵的乘法就是对应了一个变换，在它的作用下，可以把一个向量变成另外一个方向和长度都不同的新的向量.。然而，在这个变换的过程中，原向量主要发生的就是旋转和伸缩的变化.

这种变换必然会有一组向量的存在，被变换后的线性空间内的某个向量或者一组向量只发生了伸缩变换，而没有产生旋转的效果，那就是说在线性的变换下，它们所在直线上保持不变。那这些向量就被称为是这个矩阵的特征销量，伸缩的比例就是特征值。

在实际应用中，所代表的具体事物被抽象为矩阵数据，那么可能存在一组变换和特征值描述它未来发展的趋势（伸缩线性），又或者根据后来的结果，推导出导致它进行伸缩变换的向量（因素）

如果把矩阵实际抽象为一家公司的各种特征的发展，广告，员工，产品，营销，那么矩阵可以看做是一项经营活动，就是说它在空间里是不变的活动，A = [1000, 10, 33, 200] 时间线上的该公司的广告，员工，产品，和营销所花的人民币. 那么，现在有一场金融风暴来临，公司所有的预算将会减少，这时候 可设定一组向量  a = [-1, -2, 1, -1] 那么经过这样的变换，矩阵A所在的空间变化就会发生改变，它会直接崩溃到坐标轴第四象限。所以它在所有特征维度上的计划都会变换，我们就可以说是向量影响了矩阵A的方向(发展决策)和长度（营收变化）.

那么会不会有一组向量，应用在A后可以用特征值进行描述的？这组向量就被称为是特征向量，那这个特征值就是反应具体伸缩变换的一个标准值。其实所有的公司都需要一个标准值来准确的表示再公司经营活动中发生的盈亏度量。

那么为了应对这次风暴，所有为了公司应收影响降到最低，就是要找到特征值至少不能为负数的特征向量（经营决策）。但是特征值与特征向量是不可能随意更替的，就是特征值与特征向量是互相影响的东西，会存在一种特征向量来描述不改变经营决策，我会发生多大的损失（特征值决定着伸缩）.

另外一个例子图像压缩

使用特征值可以将图像进行压缩处理，通过压缩后的图像，颜色像素会损失部分

将方形图像进行转矩阵操作，比如255 * 255 每个像素点代表颜色值，然后求出矩阵的特征向量与特征值，保留特征值最大的50个并转成对角矩阵

为什么要使用最大值呢， 因为特征值越大越能还原该像素点。越接近本来的颜色值。特征值得到后，可以进行矩阵还原，还原后的就是压缩后的图像了。