斐波那契数列的递归算法与非递归算法

一、斐波那契数列

斐波那契数列又称为黄金分割数列, 由于是以兔子的繁殖为例子引入的，因此也叫“兔子数列”。它指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13......从这组数可以很明显看出这样一个规律：从第三个数开始，后边一个数一定是在其之前两个数的和。
在数学上，斐波纳挈数列可以以这样的公式递归地表示：

F(0) = 0  F(1) = 1   F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

二、斐波纳挈数列的实现

既然该数列已经有这样一个规律：F(n) = F(n-1) + F(n-2)；那么我们很容易就能想到用递归的方法，这样写出来的代码比较简洁

 long long Fibonacci(long long num)  
{  
     assert(num >= 0);  

         //递归  
         if ((num == 1) || (num == 0))  
         {  
              return num;  
         }  
             return Fibonacci(num-1)+Fib1(num-2);  
 }  

当然，我们也可以这样写：

long long Fibonacci(long long num) {  
   assert(num >= 0);  

   //递归  
   return num<2 ? num:(Fibonacci(num-1)+Fib1(num-2)); 
 } 

这样的递归算法虽然只有简单的几行，但是效率却很低。为什么呢？我们可以分析其递归调用的时间复杂度：

时间复杂度 ----- O(2^N)

由于使用递归时，其执行步骤是：要得到后一个数之前必须先计算出之前的两个数，即在每个递归调用时都会触发另外两个递归调用，例如：要得到F(10)之前得先得到F(9)、F(8)，那么得到F(9)之前得先得到F(8)、F(7)......如此递归下去

image

从上图我们可以看出，这样的计算是以 2 的次方在增长的。除此之外，我们也可以看到，F(8)和F(7)的值都被多次计算，如果递归的深度越深，那么F(8)和F(7)的值会被计算更多次，但是这样计算的结果都是一样的，除了其中之一外，其余的都是浪费，可想而知，这样的开销是非常恐怖的

所以，如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话，我们可以用以下两种非递归算法来实现：

1.时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)

创建一个数组，每次将前两个数相加后直接赋给后一个数。这样的话，有N个数就创建一个包含N个数的一维数组，所以空间复杂度为O(N)；由于只需从头向尾遍历一边，时间复杂度为O(N)

long long* Fibonacci(long long num)  
{  
    assert(num >= 0);  
    //非递归  
    long long* array = new long long[num+1];  
    array[0] = 0;  
    array[1] = 1;  
    for (int i=2; i<=num; i++)  
    {  
        array[i] = array[i-1] + array[i-2];  
    }  
        return array;  
}

2. 时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)

借助两个变量 first 和 second ，每次将 first 和 second 相加后赋给 third ，再将 second 赋给 first ，third 赋给 second，如此循环。

long long Fibonacci(long long num)  
{  
    assert(num >= 0);  
    long long first = 0;  
    long long second = 1;  
    long long third = 0;  
    for(int i=2; i<=num; i++)  
    {  
        third = first + second;  
        first = second;  
        second = third;  
    }  
    return third;  
}  

OC 代码的实现

NSMutableArray *fbArr = [[NSMutableArray alloc] init];

   [fbArr addObject:[NSNumber numberWithInteger:1]];// 第一个月的兔子数量
   [fbArr addObject:[NSNumber numberWithInteger:1]];// 第二个月的兔子数

   //求第n个月兔子的数量
   //斐波那契数列前100位，也可以写成一个方法，前多少位根据传入参数决定
   int n = 10;
   for (int i = 0; i < n-2; i++) {
       int count = fbArr.count;//当前斐波那契数列数量
       NSInteger last1 = [[fbArr objectAtIndex:count-1] integerValue];//当前最后一位
       NSInteger last2 = [[fbArr objectAtIndex:count-2] integerValue];//当前倒数第二位

       [fbArr addObject:[NSNumber numberWithInteger:(last1+last2)]];//添加新的斐波那契数列
}
   for (int i = 0; i < fbArr.count; i++) {
      NSLog(@"第%d个月 兔子数量是:%d",i+1,[[fbArr objectAtIndex:i] integerValue]);//打印每一个月的兔子数量
}

</article>

07算法数据结构

来自：i张迷
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