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对数函数：2016年文数全国卷B题20

对数函数：2016年文数全国卷B题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-24 22:00 被阅读0次

对数函数：2016年文数全国卷B题20

已知函数 f(x)=(x+1) \ln x-a(x-1).

（I）当 a=4 时，求曲线 y=f(x) 在 (1,f(1))处的切线方程;

（Ⅱ）若当 x \in (1,+\infty) 时，f(x) \gt 0，求 a 的取值范围.

【解答第I问】

函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty).

(x\ln x)' = \ln x +1

f'(x) = \ln x + \dfrac {1}{x} + 1 -a

当 a=4 时，f(1) = 0

f'(1)=-2

切线方程为 y=-2x+2.

【解答第Ⅱ问】

f(1)=0, 与 a 值无关.

f''(x) = \dfrac {1}{x} - \dfrac {1}{x^2}

f''(x) = \dfrac {1}{x} (1- \dfrac {1}{x})

当 x \in (1,+\infty), f''(x) \gt 0, f'(x) 在 (1,+\infty) 单调递增；

f'(x) = \ln x + \dfrac {1}{x} + 1 -a

f'(1) = 2-a

（1）若 a \leqslant 2, f'(1) \geqslant 0, 在 (1,+\infty) 区间 f'(x) \gt 0, 函数 f(x) 单调递增；

所以， f(x) \gt 0 成立.

（2）若 a \geqslant 2, f'(1) \leqslant 0,

又因为 \ln x \leqslant x-1, 所以 f'(x) \lt x + \dfrac {1}{x} -a

当 x \in (1, \dfrac {a}{2} -1), f'(x) \lt 2x -a \lt 0, 函数 f(x) 单调递减，所以，f(x) \lt f(1) \lt 0.

综上可知：a 的取值范围是 (-\infty, 2].

【提炼与提高】

这是一个入门级的高考题，适合用作同步补充练习。

以下几点请留意：

分类讨论

本题中，导函数 f'(x) 是一个增函数。如果 f'(1) 为正，就好办；但如果 f'(x) 为负，就要另想办法。这就需要分类讨论。

放缩操作

在讨论存在性问题时，我们对于精确的取值并不感兴趣，使用一系列不等式进行放缩处理，迅速地完成定性讨论，是常用的操作。

以本题为例，用到了以下不等式：

\boxed{ \ln x \leqslant x-1}

\boxed{x \in (1,+\infty), \dfrac{1}{x} \lt x}

平时多总结，遇到复杂问题就不慌。

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