第七讲：机械能守恒定律

数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为
$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz$
- 弹性势能： $E_p =\frac{1}{2}kx^2$
- 万有引力势能： $E_p =-\frac{Gm_1 m_2}{r}$
  保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在各物体之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{初}-mgz_{末}$
- 弹性的功： $W=\frac{1}{2}kx^2_A-\frac{1}{2}kx^2_B$
- 万有引力的功： $W=(-Gm_1 m_2\frac{1}{r_A})-(-Gm_1 m_2\frac{1}{r_B})$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。
-不守恒。反例：光滑水平面上，A、B两个物体间夹一根已经被压缩了的轻弹簧，将A、B由静止开始同时释放，在以后的运动过程中，A、B组成的系统的合外力为零，而A、B的总的机械能逐渐增多。
机械能不守恒的处理

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答： $mgx=\frac{1}{2}(m+M)v^2+\frac{1}{2}kx^2$
$v(x）=\ \sqrt{\frac{2mgx-kx^2}{m+M}}$ ,方向向下
$mgx=\frac{1}{2}(m+M)v^2+\frac{1}{2}kx^2+\mu mgx'$
$v(x）=\ \sqrt{\frac{2mgx-kx^2-\mu mgx'}{m+M}}$