二次函数

      什么是二次函数呢？经过上周一周的探索我们已经有了答案：与一次函数相同，二次函数也属于函数的一种，即二次函数中的每一个X都有唯一的y值与之对应，只不过一次函数函数式中字母数的次数为一，即普遍形式为y=kx+b，而二次函数中最大字母数的次数为2，即普遍形式为y=kx方+b。

      不过，可别小瞧小小一个平方的力量，正因为它，二次函数和一次函数从各方面都有着极大的不同，首当其冲的就是在函数图像的形状上面，一次函数呈现的是一条无限延长的直线（如果是正比例的话还得过原点），但在我们目前研究的y=kx方的反比例函数中，函数图像是一个根据Y轴对称，且最低点或者最高点在原点的平滑曲线，不仅y随x的增大及减小随区间变化，从不等式的角度甚至有可能没有kx方>0或者kx方<0的可能性！那么，问题来了，如果我们在二次函数的研究上更进一步，去研究y=kx方+b这种升级模式二次函数的各个性质，又会发现什么呢？

      首先，如果直接通过这种函数的数的形式感受，我们可以直接确定这个函数的函数图像必定也是一个根据y轴的轴对称图形，因为这个函数同样拥有平方的非负性，平方部分整体必定≥零（当然如果系数项小于零那必定小于等于零），同时，这种函数的最大值和最小值也会与单纯的二次函数有所不同，因为对于单纯二次函数，X的最小值或者最大值因为非负性的影响只能是零，Y的最小值或者最大值因此也只能是零。但在y=kx方+b中，x等于0，y反而=b。

      当然，数的角度不够全面也不够立体，让我们列出一个这种函数的普遍式：y=x方+1，并画出它的函数图像，从图像当中进一步进行精确。

        可以很明显的观察到，与我们从数的角度分析相同，我们画出的函数图像从形状上讲和y=ax方的函数图像形状相同，同样根据y轴对称，并且呈现一个平滑的曲线。但有一个非常明显的不同点，y=ax方中，无论a>0还是<0，其最低点和最高点总是在原点上，但是在这个函数中，最低点在（0，1）处。而当我们改变对象，画出a<0，即y=-x方+1的图像时，同样能够发现类似的特点：

        图像中的特点透露出什么规律呢？如果我们仔细观察的话就会发现，非常恰巧的，两个拥有+1常数项的二次函数的最高点和最低点都分别在y=1的位置，而1，正好是这个二次函数常数项的数值。这也印证了我们在数型结合中对数分析时的所得到的规律，即y=kx方+b的函数中，最低点和最高点都为（0，函数的常数值）

      明确第一个性质之后，我们就应该敏锐的察觉到了：y=ax+b的函数不等式和方程肯定有所不同。还是先列出各个不等式吧：

      x方+1<0

      x方+1>0

      x方+1=0

      直接解得。

          诶，是不是又有不同啦？从a>0的式子中不太明显，只不过由于最低点的改变，让三个不等式和方程中有两个无解。而从a<0点式子中，能够看到其中每一个解都拥有多种情况或者一个区间，这同样是能够用图形来解释的：

        如图，当a>0，其函数图像不与x轴接触，且最低点为（0，1），那么显然，这个函数不可能有x方+1<0和x方+1=0的解。且整个S轴上的图像所对应的X轴的坐标都是x方+1>0的解集。

        当a<0，其函数图像与X轴交于两点，所以x方+1=0拥有两个解。因为X轴以上y值为正，x轴以下y值为负，x轴以上的函数图像所对应的X轴的数值全部是x方+1>0的解，X轴以下的函数图像所对应的X轴的数值全部是x方+1<0的解，也正因如此，二者的解集才会拥有区间。那么为什么X方+1=0拥有两个解呢？答案与我们前面的结果有所呼应，因为在这类函数图像中最低点和最高点不是原点，而是（0，常数项点）。

        而这就是我们对于加上常数项的二次函数的探索了，经过探索，我们发现常数项二次函数的最低点和最高点是（0，常数项值），了解了二次函数不等式和方程的特殊点，更是巧妙的利用二次函数数形结合的解释了其对应的不等式与方程（甚至我就是利用二次函数的图像，看出区间性，解决本来并没有学过解决方法的二次函数的不等式的！）可以说对数形结合与二次函数的理解都更加精进了一层。