五一回家，经过两天的长谈，我彻底被妻子说服了，同意让小孩参加明年 “华杯少年赛” 。
在一次偶然的机会，我通过和儿子的同学沟通，了解到现在的培训机构为了提高学生的解题能力和速度，采用相对机械地方法开展数学教育，他们按照事先分解好的步骤，严格地一步步教小朋友。传授新知识，所用的方法不能抛弃了知识背后所蕴含的思维方式，不能全然抛弃知识产生的历史背景，也必须要顾及小朋友的认知特性。完整的教育不能仅限于在学生在规定的时间内做出正确的答案，还必须教会他们良好的思维方式和完整的知识视野，同时要培养他们对学习对象的乐趣，帮助他们形成自我学习的内在驱动力。
认真分析了华杯赛的试题，然后在图书馆和网络找了两天的相关书籍，我尝试写下这次为期一年的教学提纲，清晰地指导学习的顺序和思路。
教学目的与方法
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利用数形结合，培养对数学的直观理解
** 在小学和初中阶段，小朋友还无法形成深刻的抽象思维，抽象的数学如果能与几何的直观结合起来，就能让小朋友更深入理解抽象的数学概念，同时直观是思考数学的另一眼，数与形则是一个硬币的两个面。
** 比如所有奇数之和，就可以用一个不断增加的正方形来表示；比如帕斯卡尔三角能帮助小朋友理解二项式展开式各项系数的规律。 -
结合高等观点，培养对数学的抽象和整体理解
** “有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”，在《高观点下的初等数学》一书中，克莱因一直强调结合高等观点和数学发展史来加强学生对数学的深入和整体的理解；
** 比如一些基本定律和法则出发增加对现有概念的认知，比如所有的数（包括负数，无理数，虚数）其实都来源于运算方式和运算律，通过对运算律的推导来展开数存在的意义，让小朋友能在简单认知的基础上升华对数的认知； -
结合 1 和 2 ，从个别性的解题技巧到普遍性建模能力的提升
** “数学是一门关于模式的科学”，数学家Keith Devlin在他的畅销科普书《数学的语言:化无形为可见》开宗明义就这么说。建模是数学思维方式的核心，是数学描绘这个世界的不二法门。
** 能够学会用未知的、抽象的元素替代已知的、具体的元素并建立元素之间的联系，从而建立简单的数学模型；
** 学习用二项式来表示数的性质并整体性的研究数的性质，就能培养简单的建模能力和意识。方程式本身也是通过对已知事物建模来了解未知事物的方式. -
学习与应用相结合，在实际运用数学知识中培养对数学的长期兴趣
** 学以致用能更生动地巩固所学的知识，并极大的激发小朋友的好奇心，培养他们数学世界里长期探险的兴趣。
** 例如可以通过简单的道具在适当的时间和地点就可以测量地球与月球的距离（无法很精确，但能准确到数量级），这也是古希腊科学家尝试解决的问题。
教学内容：
1. 算术与7则运算
* 重点
* 了解运算法则和运算律，认知无理数、超越数和虚数
* 了解乘方与乘方的两个逆运算以及意义
* 参考书目
* 高观 C1~C2
* 数学写真集：无需语言的证明
* 趣味代数学
2. 初等数论
* 重点：
* 了解不定方程，数的同余等基本性质
* 学会用抽象的方式研究数的性质，并建模解题
* 参考书目
* Basic Algebra I
* Algebra I For Dummies
* 高观 C3
* 快乐相遇数论
* 初等数论的知识与问题
3、初等代数
* 重点
* 了解斐波那契等常见的数列，多元一次方程式等
* 了解基本的排列与组合问题
* 参考书目
* Algebra I For Dummies
* Algebra I: 1,001 Practice Problems For Dummies
* 趣味代数
4. 平面几何
* 重点
* 了解点、线、面、平行、角等基本概念
* 了解三角形、四边形、圆的基本概念和性质，会做基本证明
* 初步了解欧几里得几何的公理体系
* 参考书目
* Geometry For Dummies
* 几何学教程（平面几何卷）
* 趣味几何学
教学参考
* 古今数学思想
* 华杯赛试题与各类讲座（参加培训班）
最后的话
**掌握节奏和方法，一年完成这么多内容的学习是有迹可循的。总结儿子以往学习的经历，如果我们抓住其中的关键点，用清晰，透彻的语言展开，反复阐释再加针对关键点的反复练习，它其实可以让小朋友在不增加很大负担的前提下掌握关键点。掌握了关键点之后，可以定期地出一些习题，通过习题结果反馈他的解题思路，对习题的解答不能局限于做对题目，还需要升华他对数学的理解和判断力。比如在教儿子负数的加减法的时候，我在纠正他的答案正确与否之前，会教他通过找到答案在数轴中的位置来判断自己的答案是否正确，在这个过程中让他理解负数加减法的含义。
**从儿子学习方程式的经历来看，经历了两个阶段。第一阶段是用抽象的字母a, b, c 或者x, y, z等来替代具体的数字，一开始他习惯性用具体的数字来组织运算，很难转变为抽象的符号。于是我利用讲解运算律的过程让他开始接触并练习用抽象符号表达运算律，等他习惯运算律的抽象表达，接下来把求未知数的方法教给他，因为那些方法也是对运算律的应用。第二阶段是设立未知数，并用含有未知数的等式来替代应用题中的已知条件，有了第一个阶段的扎实基础，很快就完成了第二阶段的学习。
**这是一份不完整的提纲，每一个版块还需要进一步完善。但目的是清晰的，思路是完整的。练习与考试永远是教育最好的反馈，我的上一篇文章同样强调，80%的时间都是在做题和练习，它决定了小朋友掌握知识的深度，剩下20%的教育与辅导拓展了知识的广度和高度。
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