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解析几何之目~向量与曲线：2007年理数海南卷题19

解析几何之目~向量与曲线：2007年理数海南卷题19

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-10 00:57 被阅读0次

向量与曲线：2007年理数海南卷题19

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0,\sqrt{2}) 且 斜率为 k 的直线 l 与椭圆\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 有两个不同的交点 P 和 Q.

（I）求 k 的取值范围;

（Ⅱ）设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B ，是否存在常数 k，使得向量 \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ} 与 \overrightarrow{AB} 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由.

【解答问题I】

直线 l 的方程为： y=kx+\sqrt{2}

代入椭圆方程可得：(2k^2+1)x^2+4\sqrt{2}kx+2=0

\Delta=8(2k^2-1)

\Delta \gt 0 \Rightarrow\; k^2 \gt \dfrac{1}{2}

k \in (-\infty, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \infty).

【解答问题Ⅱ】

记 PQ 中点为 M, 若向量 \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ} 与 \overrightarrow{AB} 共线，则 OM // AB, k_{_{OM}} = k _{_{AB}}

A,B 两点的坐标为： A(\sqrt{2},0), \;B(0,1), k_{_{AB}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}

∵ P,Q 两点在椭圆上，而点 M 为 PQ 中点， ∴ k \cdot k_{_{OM}} = -\dfrac{1}{2}

∴ k= \dfrac{\sqrt{2}}{2}

根据前一问的结论，当 k= \dfrac{\sqrt{2}}{2} 时， \Delta=0, 直线 l 与椭圆只有一个交点.

所以，满足要求的 k 值不存在.

【提炼与提高】

「2007年理数海南卷题19」与「2007年文数海南卷题19」是龙凤题。

文科卷考的是直线与圆的关系；理科卷考的是直线与椭圆。

两题都涉及了向量的共线问题。我们用不同的方法解答。注意比较 。

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