曲线与方程

作者: 阿咚老师 | 来源:发表于2018-09-09 15:08 被阅读0次

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一.曲线与方程的概念

课后习题

设曲线 $\displaystyle C$ 的方程为 $( x-1)^{2} +( y-2)^{2} =1$ ,直线 $\displaystyle L$ 的方程为 $x+y-2=0$ , 点 $\displaystyle P$ 的坐标为 $\left(\text{2,} 1\right)$ ,那么___________.
A.点 $\displaystyle P$ 在直线 $\displaystyle L$ 上,但不在曲线 $\displaystyle C$ 上.
B.点 $\displaystyle P$ 在曲线 $\displaystyle C$ 上,但不在直线 $\displaystyle L$ 上
C.点 $\displaystyle P$ 既在曲线 $\displaystyle C$ 上,又在直线 $\displaystyle L$ 上
D.点 $\displaystyle P$ 既不在曲线 $\displaystyle C$ 上,又不在 $\displaystyle L$ 上
方程 $( 2x+3y-1)\left(\sqrt{x-3} -1\right) =0$ 表示的曲线是___________.
A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线.
曲线 $y$ = $x^{2}$ 与直线 $y=kx-1$ 无交点,则 $k$ 的取值范围是___________.
曲线 $y=x^{2} -x+2$ 和 $y=x+b$ 有两个不同的交点则 $\displaystyle b$ 的取值范围___________.
已知函数 $y$ = $\frac{1}{x}$ 的图像与函数 $y=\sqrt{9-x^{2}}$ 图像有两个交点 $( x_{1} ,y_{1})$ ,（ $x_{\text{2,}} y_{2}$ ）则 $x_{1} -y_{1} +x_{2} -y_{2}$ 值为___________.
曲线 $y=| x|$ 与 $x^{2} -( y-1)^{2} =1$ 的交点坐标___________.
直线 $y=x+1$ 被 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 截得的线段长为___________.
做出 $( x+y)\left( x-\sqrt{1-y}\right) =0$ 的曲线.
设直线 $y=mx$ 与曲线 $y=| x+1|$ 无交点,求 $\displaystyle m$ 的取值范围.

二.求曲线的方程

题型一:直接法

下列命题正确的是___________.
A.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 $x-y=0$ ;
B.已知三点 $A\left(\text{0,} 3\right)$ , $B\left( -\text{2,} 0\right)$ , $C\left(\text{2,} 0\right)$ , $\vartriangle ABC$ 中线 $AO$ 的方程为 $x=0$ ;
C.等腰三角形顶点 $A$ 的坐标是 $\left(\text{4,} 2\right)$ ,底边一个端点的坐标是 $\left(\text{3,} 5\right)$ ,另一个端点 $C$ 的轨迹方程为 $( x-4)^{2} +( y-2)^{2} =10$ ;
D.到两坐标轴距离之积为定值 $\displaystyle 1$ 的点的轨迹方程为 $\displaystyle xy=\pm 1$ .
与两坐标轴相切的动圆圆心的轨迹为___________.
平面内到点 $F( 1,1)$ 和到直线 $l:x+2y-3=0$ 距离相等的点的轨迹是___________.
A.抛物线 \ \ B.直线 \ \ C.圆 \ \ \ D.双曲线
已知两定点 $A\left( -\text{1,} 0\right)$ , $B\left(\text{1,} 0\right)$ ,动点 $P$ 满足 $\frac{| PA| }{| PB| } =\frac{1}{2}$ ,则 $P$ 点的轨迹方程___________.
动点到两坐标轴的距离之和的两倍等于这个动点到原点距离的平方,则动点的轨迹方程___________.
A. $x^{2} +y^{2} =2x+2y$
B. $x^{2} +y^{2} =2x-2y$
C. $x^{2} +y^{2} =-2x+2y$
D. $x^{2} +y^{2} =2| x| +2| y|$
一动点 $P$ 到圆 $x^{2} +y^{2} =1$ 的最短距离等于它到 $x$ 轴的距离,求动点 $P$ 的轨迹方程.
求圆 $x^{2} +y^{2} =r^{2}$ 内长度为定值 $2$ 的弦的中点 $P$ 的轨迹方程.
已知直角坐标平面上的点 $Q\left(\text{2,} 0\right)$ 和圆 $C:x^{2} +y^{2} =1$ ,动点 $M$ 到圆 $C$ 切线长与 $|MQ|$ 的比等于常数 $\displaystyle \lambda ( \lambda >0)$ ,求切点 $M$ 的轨迹方程,并说明表示什么曲线.
一个动圆 $M$ 过定点 $F\left(\text{1,} 0\right)$ ,且与定圆 $x+1^{2} +y^{2} =16$ 相切,求动圆圆心的轨迹方程.

题型二:转移代入

曲线 $y^{2} =4x$ 关于直线 $x=2$ 对称的曲线方程是___________.
A. $y^{2} =8-4x$
B. $y^{2} =4x-8$
C. $y^{2} =16-4x$
D. $y^{2} =4x-16$
已知圆 $x^{2} +y^{2} =4$ 和两点 $A\left(\text{0,} 4\right)$ , $B\left(\text{4,} 0\right)$ 当点 $C$ 在圆上运动时,求 $\Delta ABC$ 的重心轨迹方程.
$\displaystyle P$ 是曲线C: $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{4} =1$ 上任意一点,其中 $F_{1}\left(\sqrt{5} ,0\right)$ , $F_{2}\left( -\sqrt{5} ,0\right)$ , $O$ 为坐标原点, $\overrightarrow{OQ} =\overrightarrow{PF_{1}} +\overrightarrow{PF_{2}}$ 则动点 $Q$ 的轨迹方程.
$M$ 为直线 $l:2x-y+3=0$ 上的一动点, $A\left(\text{4,} 2\right)$ 为一定点,又点 $P$ 在直线 $AM$ 上,且 $\overrightarrow{AM} \ =4\overrightarrow{MP}$ ,求点 $P$ 的轨迹方程.

题型三:消参法

求动圆 $( x-\cos \theta )^{2} +( y-\sin \theta )^{2} =1$ 圆心的轨迹方程___________.
已知圆 $x^{2} +y^{2} =1$ 和一定点 $C\left(\text{2,} 0\right)$ ,过 $C$ 的直线与圆交于 $A,B$ 两点,求 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程.
已知 $A\left(\text{0,} 5\right)$ ,动线段 $BC$ 在 $x$ 轴上运动,且长度为 $6$ ,求 $\triangle ABC$ 外心的轨迹方程.

题型四:交轨法

两条直线 $ax+y+1=0$ 和 $x-ay-1=0( a\neq \pm 1)$ 的交点轨迹方程___________.
已知三点 $A\left( -\text{4,} 0\right)$ , $B\left(\text{4,} 0\right)$ , $F\left(\text{8,} 0\right)$ 和直线 $l:x=2$ ,过点 $F$ 作互相垂直的两条直线分别交 $l$ 于 $C,D$ 两点,直线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$ ,求点 $P$ 的轨迹方程.

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