时隔好久，又翻开了简书，发现我的上一篇文章还是4月份，刚刚开始做毕设的时候写的。
为什么这么久都没有写东西了呢？当然是经历了颓废的大四下学期和漫长的假期。
为什么又开始更新了呢？因为我又开始上课啦！
这学期的《数字图像处理》课是鲍老师上的，他讲的超级好的，感觉好多之前糊里糊涂的概念经过他的梳理之后，都变的清晰了起来。
我的分享基本上是老师的思路，加上我自己的一些理解，希望可以帮到像我一样对一些基本概念不太清楚的小伙伴。
系统和线性时不变系统
这两个概念很好理解了，我觉得系统就可以简单的看做一个函数（或者说函数是一种系统）。给定其一个输入，就会得到一个输出。
而满足线性关系，输出又不随时间变化的系统就是线性时不变系统（LTI，Liner Time Invariant System）。
线性关系（我真的是连这点基本概念都记不住，老师要气死了吧！）
单位冲激函数
单位冲激函数就长下面这样，单位的意思就是值为1，冲激的意思就是只有 t=0 的时刻有取值。它的图像大家可以想象到，挺麻烦的，我就不画了。
单位冲激函数
我们用单位冲激函数和一个信号 x(t) 相乘，得到的结果就是 x(t) 在 t=0 时的值。如果将单位冲激函数沿 x 轴平移一段距离再和 x(t) 相乘，那么得到的就是 x(t) 在某一非零时刻的值。于是，单位冲激函数又有了一个响亮的名字——采样函数（Sampling Function）。也就是满足下面的公式：
采样函数的由来
单位冲激响应
对于一个信号 x(t)，对它的每一个时刻进行采样，再求和，得到的还是原函数 x(t)。即满足下面的公式：
（我只写了离散的情况，连续函数换成积分就可以了）
先采样，再求和
假设有系统 f(·)（我不知道这样表达对不对，你们懂就好），即 y(t)=f(x(t))。那么可以有如下推导：
唉？写到这儿有没有很眼熟？
这里的 h(t)=f(delta(t))，h(t) 就被称作单位冲激响应，意思就是单位冲激函数的响应（响应就是输出的意思，老师说这样叫比较专业啦~）。
而最后推导出 y(t) 的结果，就是大名鼎鼎的卷积（Convolution）公式！！！
卷积公式
学了三年终于记住了卷积公式，我爆哭！！！
线性滤波器
对于一个 LTI，如果它的输入函数是一个正弦波，那么可以有如下推导：
所以说，把一个正弦波输入到 LTI 中，得到的还是一个同频率的正弦波，只是幅度有所变化。那么，如果把几个正弦波的和输入到 LTI 中会得到什么呢？
可以看到，得到的结果还是几个正弦波的和，只不过在每个正弦分量的前面乘上了一个系数 lambda 而已。
这样，我们就可以通过调整 LTI 的参数 lambda 来决定每一特定频率的正弦波的幅度变化，进而得到我们想要的结果。
所以，LTI 也被亲切的成为线性滤波器（Liner Filter）。
另外
我从高中就开始看到用 e 的幂指数形式来表达正余弦的表示方式，但一直不明白是怎么回事。所以，我下课后查了一下，发现这个公式原来是使用泰勒展开推导的。有同样疑惑的小伙伴可以参考欧拉公式-互动百科。
这一 P 就写到这里了，下一 P 写傅里叶变换！
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