问题

设个人（）准备依次坐个位置，假定第个人原本的位置是第个位置。现在，第一个人等可能地从个位置中随机挑选一个坐，此后的所有人将：

1. 如果他原本的位置是空的，那么他将做到他原本的位置
2. 如果他原本的位置已经被之前的占据了，则他将在剩下的空位中等可能随机挑选一个

问题是，最后一个人，即第个人，恰好坐在第个位置的概率有多大。

解决

方法一

我们将位置编号，并设第个位置为。对于第个人而言，他的选择有三种情况：

1. 坐在
2. 坐在
3. 坐在

如果是第一种情况，那么此后所有人都将按照原本的位置坐下；
如果是第二种情况，那么无论如何最后一个人都无法坐在原本的位置上。
现在考虑第三种情况，我们假定他坐在了，那么对于第这个人实际上是没有影响的（因为他们都可以坐在属于自己的位置上）。现在，对于第个人，因为已经被第一个人占据，他可以选择的位置只有这个位置，此时依然有三种情况：

1. 如果他坐在，那么此后所有人都将按照原本的位置坐下
2. 如果他坐在，那么无论如何最后一个人都无法坐在原本的位置上
3. 如果他坐在

我们会发现此时，对于第个人，他的选择所造成的结果与第一个人是完全相同的。只不过这次问题的规模由变为了。那么我们实际上可以等价的认为：当第个人发现第1个人占据了他的位置后，他将第1个人赶走了，自己坐在，然后让第1个人自己重新挑选。也就是说，我们将第个人看成了新的第1个人。

这种等价思想所直接导致的后果是，可以认为第1个人就总在这两个座位上随机挑选，与其他人无关，因为其他人都一定能坐在自己的位置上。因此，最终的结果是。

方法二

设事件：当第个人要入座时发现座位已经被占据。此时只可能是被第个人所占据。于是该事件的一个划分是，其中表示第个人占据了第个位置。于是令，则有我们现在来考虑。注意到，因此如果第个人要占据，则有：

1. 他入座时发现已经被占据，这对应着事件
2. 在发生的条件下，他会在剩下的个座位中等可能随机挑选一个，而他挑选到了。

设事件表示第个人在剩下的位置中随机挑选到了，显然有故而事件的概率是一个条件概率：此外还需单独考虑到，因为按照定义，（第1个人要入座时都是空座位，因此不可能有人占据），按照条件概率公式就会求出，但是这显然是不合理的，因为第一个人与其他人不同，他是可以任意挑选的，所以应该有于是，对于，有我们接下来证明，采用数学归纳法：

1. 当时，显然成立（注意如果求和符号的上标小于下标则认为没有求和）
2. 假设时成立，即
3. 则对于，有于是也成立

现在，我们已知第个人入座时，他的原本的座位被人占据的概率是从而他能够坐在原本的位置的概率是