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怎么利用函数的奇偶性求函数的解析式？

怎么利用函数的奇偶性求函数的解析式？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-06-30 21:19 被阅读0次
利用函数的奇偶性求函数解析式

解题步骤：
第一步 首先设出所求区间的自变量x；
第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围；
第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.

例．已知f(x)是定义(-1,1)在上的奇函数, 当x \in (0,1)时,f(x)=\dfrac{2^x}{4^x+1}，求f(x)在(-1,1)上的解析式.

解：当x \in (-1,0)时,-x \in (0,1), 因为函数f(x)为奇函数,

\therefore f(x)=-f(-x)=-\dfrac{2^{-x}}{4^{-x}+1}=-\dfrac{2^x}{1+4^x},

又f(0)=f(-0)=-f(0)，

\therefore 2f(0)=0，f(0)=0.
故当x \in (-1,1)时, f(x)的解析式为f(x)=\begin{cases}\dfrac{2^x}{4^x+1},&x \in (0,1)\\ 0 ,&x=0\\ -\dfrac{2^x}{4^x+1},&x \in (-1,0)\end{cases}.

【注意】

（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；

（2）本题是求函数f(x)在R上的解析式，一定不要忘记x=0时，函数f(x)的值.

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