线性代数之——向量简介

1. 二维向量

在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 分别为向量中的两个元素，而 与 的和则是向量 和 的线性组合。

2. 三维向量

三维向量和二维向量类似，可以表示为三维平面中的一个箭头，只不过坐标变成了 。

针对三维向量 ， 和 ，有

• 所有 的组合会填满一条直线
• 所有 的组合会填满一个平面，如果 和 不在一条直线上
• 所有 的组合会填满三维空间，如果 不在 和 组合成的平面上

3. 长度和点积

两个向量 和 的点积或者内积 定义为：

如果两个的向量的点积为零，说明这两个向量是垂直的，它们之间的角度为 90°。

另一个重要的情况是一个向量和自己点积，这时候点积的结果就是向量长度的平方，或者说向量的长度就等于与自身点积的平方根。

单位向量就是向量长度为 1 的向量，也就是 。 是一个和 在一个方向上的单位向量。

沿着 轴和 轴 的单位向量称为 和 ，在 平面中，单位向量 和 轴构成一个夹角 。

当两个向量之间的角度小于 90° 时，它们的点积大于 0；当两个向量之间的角度大于 90° 时，它们的点积小于 0；而当两个向量之间的角度等于 90° 时，它们的点积等于 0。

我们可以直观地看到这种情况，当这两个向量分别为单位向量 和 时，这时候 ， 也就是这两个向量之间的角度。

当这两个向量分别旋转到 到 时，它们的点积为：

当两个向量不是单位向量的时候，我们就可以先除以向量的长度把它们变成单位向量，因此，同样地，就有：

因为 不会超过 1，因此我们就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：

4. 矩阵

给出三个向量

它们的线性组合 为：

我们将 作为矩阵 的列，然后上式可以重写为：

将 换成 ，我们可以得到：

这就是说， 的结果就是对矩阵 的列的线性组合。

我们还可以将上面的乘积表示成另外一种形式，矩阵的行和向量的点积：

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