六章 多元函数微分法及其应用

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方向导数就是某个方向上的导数。

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梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好使此最大方向的导数。

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具有一阶连续偏导数，意味着可微。可微意味着函数f(x,y)在各个方向的切线都住在同一个平面上，也就是切平面。

函数在某点的梯度是个向量，他的方向使函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。

梯度与等直线的关系
函数z=f(x,y)在点p(x,y) 的梯度的放行有点p的等值线f(x,y) =c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等值线只想数值较高的等值线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，即该点方向导数取最大值的方向。

方向导数使函数在各个方向的斜率，而梯度使斜率最大的那个的方向。

二元函数机制的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y):若满足不等式f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极大值；若满足f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值；极大值 极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

多元函数取得极值的条件
（1）必要条件：设函数z=f(x,y)再点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0
(2)充分条件：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内有连续，有一阶及二阶连续偏导数。

梯度

在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率。
在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向。

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