有心力问题（7）: 轨迹方程积分以及第一定律

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:40 被阅读0次

有心力问题（7）: 轨迹方程积分以及第一定律
有心力问题（3）: 等效一维问题以及轨道分类
有心力问题（2）: 运动方程以及第一积分
有心力问题（5）：轨道微分方程以及可积幂律势
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开普勒问题主要是探讨微粒在有心平方反比力场中的振荡运动。有心平方反比力场是有心力问题中一类很重要的有心力场，经典力学中最主要的有两个：牛顿万有引力场和库伦力场。

其共同拥有的特点是：

1. 势函数与距离成反比（ $U \propto \frac{1}{r}$ ）

2. 力与距离平方成反比（ $F \propto \frac{1}{r^2}$ ）

我将重点讨论当微粒之间呈现出吸引力时，振荡运动的轨迹方程的形式。

如果我们使用极坐标，根据定义，径矢由圆心向外指的方向为正，吸引力的方向则为负。因为力的大小与距离平方成反比，路径积分会多出一个负号，再根据势函数的定义，不难得到，势函数该是具有如下形式的函数：

$U(r) = -\frac{\alpha}{r}$ ， $\alpha > 0$

对应的力

$f(r) = -\frac{\partial U}{\partial r}= -\frac{\alpha}{r^2}$

在极坐标下，微粒的动能具有形式：

$T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2)$

我们不妨先找出该系统的运动积分。

拉格朗日函数为： $\mathscr{L} = T - U(r) = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + \frac{\alpha}{r}$

很明显，它并不显含坐标 $\phi$ ，因此 $\phi$ 为循环坐标， $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} = 0$ ，守恒量是角动量。

根据拉格朗日方程，我们有：

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} = 0$

守恒量为：

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}} = mr^2\dot{\phi} = ||\mathbf{r} \times m\mathbf{v}|| = M$

接下来是能量表达式：

$E = T + U(r) = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\phi}^2 - \frac{\alpha}{r}$

利用守恒量 $M$ 的表达式，两边同时平方后代入上式可将 $\dot{\phi}$ 消去得到（这样做的具体原因请参考分析力学基本原理介绍7.5：劳斯算法）：

$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{M^2}{2mr^2} - \frac{\alpha}{r} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{eff}(r)$ ， $U_{eff}(r) \equiv \frac{M^2}{2mr^2} + U(r) = \frac{M^2}{2mr^2} - \frac{\alpha}{r}$

于是有：

$\boxed{E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{eff}(r)}$

$\boxed{F_{eff}(r) = -\frac{\partial U_{eff}}{\partial r} = \frac{M^2}{mr^3} + F(r)}$

解 $\dot{r}$ :

$\boxed{\frac{dr}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}[E - U_{eff}(r)]}}$

我们得到第一个运动积分。

再次利用角动量表达式：

$M = mr^2\dot{\phi}$ $\implies \dot{\phi} = \frac{d\phi}{dt} = \frac{M}{mr^2}$

替换微分元： $dt = \frac{mr^2}{M}d\phi$ ，代入先前的能量表达式得到积分：

$\phi = \int \frac{M/r^2}{\sqrt{2mE - 2mU_{eff}(r)}}dr$

将有效势能代入积分中：

$\phi = \int \frac{M/r^2}{\sqrt{2mE - 2m\left(\frac{M^2}{2mr^2} - \frac{\alpha}{r} \right)}}dr = \int \frac{M/r^2}{\sqrt{2mE -\left(\frac{M^2}{r^2} - \frac{2m\alpha}{r}\right)}}dr$

这个积分的求解关键是将被积函数的分母转化成 $\sqrt{1-x^2}$ 的形式。

分母配完全平方，我们得到： $\sqrt{2mE - M^2\left( \frac{1}{r^2} - \frac{2m\alpha}{M^2r} + \frac{m^2\alpha^2}{M^4}\right) + \frac{m^2\alpha^2}{M^2}} = \sqrt{2mE - M^2\left(\frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2}\right)^2 + \frac{m^2\alpha^2}{M^2}}$

再合并常数项：

$\sqrt{\frac{2mEM^2 + m^2\alpha^2}{M^2} - M^2\left(\frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2}\right)^2 }$

将常数项从根号里提取出来，于是得到：

$\sqrt{2mE -\left(\frac{M^2}{r^2} - \frac{2m\alpha}{r}\right)} = \frac{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}{M}\sqrt{1 - \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}$

代入积分中：

$\phi = \int \frac{M/r^2}{\frac{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}{M}\sqrt{1 - \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}}dr = \int \frac{M^2}{r^2\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}}dr$

现在，令 $\vartheta^2 = \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}$ ，于是有 $\vartheta = \frac{M^2\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2}\right)}{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}$ ， $\frac{d\vartheta}{dr} = -\frac{M^2/r^2}{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}$

$\implies dr = -\frac{r^2\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}{M^2}d\vartheta$

带入微分元时，多余的系数刚好全部约掉，最后只剩下积分：

$\phi = -\int \frac{d\vartheta}{\sqrt{1 - \vartheta^2}}$

三角代换（推荐用 $\vartheta = \cos\xi$ ，可将剩下的负号抵消）：

$\phi(r) = \int d\xi = \xi + \text{const.} = \cos^{-1}\vartheta + \text{const.} = \cos^{-1}\left[\frac{\frac{M}{r} - \frac{m\alpha}{M}}{\sqrt{2mE + m^2\alpha^2/M^2}}\right] + \text{const.}$

我们总能够选取合适的极轴使得初始角度为零（常数项等于零），于是:

$\cos\phi = \frac{\frac{M}{r} - \frac{m\alpha}{M}}{\sqrt{2mE + m^2\alpha^2/M^2}}$

分子分母同时乘以 $M$ ，可将系数 $m\alpha$ 消去：

$\cos\phi = \frac{\frac{M^2}{r} - m\alpha}{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}} = \frac{m\alpha\left(\frac{M^2}{rm\alpha} - 1\right)}{m\alpha\sqrt{\frac{2mEM^2}{m^2\alpha^2} + 1}} = \frac{\frac{M^2}{rm\alpha} - 1}{\sqrt{\frac{2mEM^2}{m^2\alpha^2} + 1}}$

令 $\boxed{\ell = \frac{M^2}{m\alpha}}$ ， $\boxed{e = \sqrt{1 + \left( \frac{2EM^2}{m\alpha^2}\right)}}$

可将表达式改写成：

$\cos\phi = \frac{\frac{\ell}{r} - 1}{e}$

$\implies \boxed{r(\phi) = \frac{\ell}{1 + e\cos\phi}}$

这是圆锥曲线的极坐标方程，其中 $\ell$ 被称为半焦弦长， $e$ 是偏心率，原点位于其中一个焦点，极轴位于 $x$ 轴的正半轴。

因为能量具有形式： $\boxed{E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{eff}(r)}$ ， $U_{eff}(r) = \frac{M^2}{2mr^2} - \frac{\alpha}{r}$

微粒的动能必须时刻都非负，所以只有 $E \geq U_{eff}(r)$ 的区域才是经典微粒所存在的区域。

我们不妨分析一下有效势能 $U_{eff}(r)$ 的图像：

$\lim_{r \rightarrow 0^+}U_{eff}(r) = \infty$ ， $\lim_{r \rightarrow \infty}U_{eff}(r) = 0^-$ ，因此 $r = 0$ 和 $U = 0$ 是两条渐近线。

它与 $r$ 轴只有一个截点： $r = \frac{M^2}{2m\alpha}$

存在一个驻点： $\frac{dU_{eff}(r)}{dr} = 0 \implies r = \frac{M^2}{m\alpha}$ ，且位于截点的二倍处。根据定义，有效势关于 $r$ 的一阶导同时也是有效力 $F_{eff} = -\frac{dU_{eff}}{dr}$ ；二阶导 $\frac{d^2U_{eff}(r)}{dr^2}|_{r = M^2/m\alpha} > 0$ ，函数在该驻点取得局部最小值。

所以势能从正无穷处出发，随 $r$ 增大快速减小，穿过 $r$ 轴继续减小，并在 $r = \frac{M^2}{m\alpha}$ 处取得局部最小值；之后慢慢增大，从负方向趋近 $0$ ：

有效势能

U_{eff}

在第一象限的图像

从势函数的图像可以看出，只有当能量为负数时，微粒的运动才可能存在两个转折点（微粒会在这两个转折点之间做有界往返运动），运动轨迹是封闭的曲线。

于是得出结论：

$\bullet$ 当能量 $E = -\frac{m\alpha^2}{2M^2}$ 时，偏心率 $e = 0$ 。

直线 $E = -\frac{m\alpha^2}{2M^2}$ 经过 $U_{eff}$ 的驻点与其图像相切，转折点重合。

有效力 $F_{eff} = 0$ $\implies F(r) = -\frac{M^2}{mr^3} = -mr\dot{\theta}^2$ ，主动力与离心力等大反向。

轨迹是圆，焦点与原点重合，轨道半径等于驻点所对 $r$ 的值： $\frac{M^2}{m\alpha}$ ，同时也等于半焦弦长和半长轴长。

$\bullet$ 当能量 $E < 0$ 时，偏心率 $0 < e < 1$ ，轨迹是长轴与 $r$ 轴重合的椭圆，坐标原点位于椭圆一侧的焦点上。

近心点和远心点可以通过对方程： $\boxed{r(\phi) = \frac{\ell}{1 + e\cos\phi}}$ 求导得到，

他们分别是 $r_{\text{min}} = r(0) = \frac{\ell}{1 + e}$ ， $r_{\text{max}} = r(\pi) = \frac{\ell}{1 - e}$

可见，行星的运动轨迹完全由两个半径分别是 $r_{\text{min}} ，r_{\text{max}}$ 的圆约束。但在一般的情况下，运动轨迹不一定有界（比如水星的进动），有界运动不等价于封闭轨道。

$\bullet$ 当能量 $E = 0$ 时，偏心率 $e = 1$ ，轨迹是开口向左的抛物线，坐标原点位于焦点上，行星从无限远处运动至无限远处。

$\bullet$ 当能量 $E > 0$ 时，偏心率 $e > 1$ ，轨迹是双曲线的一支，左边原点位于同支的焦点上，行星运动无界。

以上即为开普勒第一定律。

$\bullet$ 如上所述，如果微粒的运动轨迹是圆，它所具有的能量需为 $E = -\frac{m\alpha^2}{2M^2}$ ，这一结论同样可以由维里定理得到。

当微粒运动轨迹是圆时，其径向速度为零（ $\dot{r} = 0$ ），所以径向动能 $T_r = 0$ ，总能量

$E = T_r + \frac{1}{2}\frac{M^2}{mr_0^2} + U(r) = \frac{1}{2}\frac{M^2}{mr_0^2} - \frac{\alpha}{r_0}$

又因为能量守恒，根据维里定理，对于有心反比力：

$\overline{T} = -\frac{1}{2}\overline{U}$

所以

$E = T + U = -\frac{U}{2} + U = \frac{U}{2}$

于是

$\frac{M^2}{mr_0^3} = \frac{\alpha}{r_0^2} \implies r_0 = \frac{l^2}{m\alpha}$

代入

$E = -\frac{\alpha}{2r_0}$

便可以得到：

$E = -\frac{m\alpha^2}{2M^2}$

$\bullet$ 对于椭圆轨道，我们可以证明其长轴长仅完全依赖于能量。该结论在波尔的原子理论中亦拥有同样重要的地位。

根据椭圆的几何特征，我们知道，椭圆两个拱点 $r_1$ ， $r_2$ 之间的距离刚好等于长轴长。从有心力问题（3）我们知道，拱点 $r_1,r_2$ 可由联立能量和有效势 $U_{eff} = \frac{M^2}{2mr^2} - \frac{\alpha}{r}$ 得到。话句话说，拱点是方程：

$E - \frac{M^2}{2mr^2} + \frac{\alpha}{r} = 0$

或者

$r^2 + \frac{\alpha}{E}r - \frac{M^2}{2mE} = 0$

的解。

根据一元二次方程的特点，方程中线性项的系数等于方程两根之和的负数，于是半长轴

$\boxed{a = \frac{r_1 + r_2}{2} = -\frac{\alpha}{2E}}$

当轨道接近圆轨道极限时，拱点重合， $r_1 = r_2 = r_0$ ，所以

$a = \frac{2r_0}{2} = -\frac{\alpha}{2E} \implies E = -\frac{\alpha}{2r_0}$

我们又得到了之前由维里定理得到的结论。

使用半长轴 $a$ ，可以将偏心率表示为

$e = \sqrt{1 - \frac{l^2}{m\alpha a}}$

做一下变形：

$\frac{M^2}{m\alpha} = \ell = a(1-e^2)$

轨道方程变为：

$\boxed{r(\phi) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\phi - \phi^{\prime})}}$

当 $\phi - \phi^{\prime} = 0$ 或 $\pi$ 时（微粒位于近心点或远心点），我们得到了了近心距和远心距： $a(1-e)$ 和 $a(1+e)$ 。

或者，用半焦弦长表示：

$a(1-e) = \frac{\ell}{(1-e)(1+e)}(1-e) = \frac{\ell} {1+e}$

$a(1+e) = \frac{\ell}{(1-e)(1+e)}(1+e) = \frac{\ell}{1-e}$

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