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相似矩阵

相似矩阵

作者: 霞客环肥 | 来源:发表于2019-03-25 12:56 被阅读0次

例子：

比如同一场电影，你在第一排右侧看到的电影，和在最后一排中间看到的电影，画面又有不同。

第一排右侧：


image.png

最后一排中间：


image.png

这其实是相似矩阵的概念。

设A, B都是n阶矩阵，所有可逆矩阵P，使得 P^{-1}AP = B，则称B是A的相似矩阵，或者A和B相似。

比如矩阵A:
A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\\ \end{bmatrix}
求P和B:
\lambda和v分别是特征值和特征向量，
\because Av = \lambda v，则：
(A - \lambda I)v = 0
为了使这个方程式有非零解，矩阵(A - \lambda I)的行列式必须是0：
det(A - \lambda I) = 0
即：
det(\begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix}) = 0
则：
(2-\lambda)^2 -1 = 0
分解得：
(\lambda -1)(\lambda -3) = 0
找到2个特征值，\lambda = 1, \lambda = 3,

when \lambda = 3:
(A - \lambda I)v = 0
即：
\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
则：
v_1 + v_2 = 0
v_1 和 v_2可以取任意值，我们取归一化的v_1 和 v_2，即：v_1^2 + v_2^2 = 1,
此时v_1 = \frac{-\sqrt{2} } {2} 和 v_2 = \frac{\sqrt{2} } {2}
v = \begin{pmatrix}\frac{-\sqrt{2} } {2} \\ \sqrt{2} \over 2 \end{pmatrix}

when \lambda = 1:
(A - \lambda I)v = 0
即：
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
则：
v_1 - v_2 = 0
v_1 和 v_2可以取任意值，我们取归一化的v_1 和 v_2，即：v_1^2 + v_2^2 = 1
此时v_1 = \frac{\sqrt{2} } {2} 和 v_2 = \frac{\sqrt{2} } {2}
v = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2} } {2} \\ \sqrt{2} \over 2 \end{pmatrix}

所以：
P = \begin{pmatrix}-\sqrt{2} \over 2 & -\sqrt{2} \over 2 \\ \sqrt{2} \over 2 & \sqrt{2} \over 2 \\ \end{pmatrix}

关于逆矩阵：
P P^{-1} = I

当P是二阶的：
P^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1} {ad - cb} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\\ \end{pmatrix}

当P是多阶的：

image.png

回归最开始的问题，此时B:
B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

关于相似矩阵，可参考https://www.matongxue.com/madocs/491.html讲的非常痛彻。

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