关于内积

作者: sparkshen | 来源:发表于2020-03-04 09:41 被阅读0次

内积是如何定义的?不就是
1)a.dot(b) = |a||b|cos(theta)
总感觉这个定义从哪里来,到哪里去,搞不清楚,整个人都不太好。

  1. 但为什么是这样定义的?(从哪里来)
  2. 为什么要算?具体到数量上,该怎么算?(到哪里去)

花了一分钟(你猜多久)探索了一下,发现真相没有这么简单。假设,我们在二维空间中探讨这个问题,这样简单些。

先说第一个问题,这个等式,其实是通过两个恒等变换来的。
三角余弦定理:
2)c**2 = a**2 + b**2 - 2 *a*b*np.cos(theta) #theta是向量a,b夹角
(十分愧对初中数学老师,我又复习了一下初中数学)

解析集合中向量关系的几何定义
3)c**2 = (b-a)**2
(这个几何定义,其实是可以从代数定义中推导出来的,权且当作快捷方式记忆吧)
这样一看,式子2),3)的右边通过c**2桥接,就相等了.整理完之后,就得到了式子1)

那么接下来,三角余弦定理又是怎么来的?简单来说,要通过毕达哥拉斯定理证明。那毕达哥拉斯定理又是怎么证明的?这些都自己去百度吧。


那么第二个问题,应用场景:分类/回归预测 -> 降维 -> 找正交基 -> 投影
a). 内积计算,在一类特殊场景之下(a,b算内积时,b向量的模长是1(b是单位向量)),其实就是计算向量的投影长度。
b). 在PCA的父场景来看,很重要的一个操作,就是将向量,投影到一组构造出来的单位正交基上。

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