2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷数学（文科）

作者: 拉格朗日和洛必达的猫 | 来源:发表于2019-03-14 20:09 被阅读0次

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一、选择题：每小题5分,共60分.

1、已知集合 $A = \{ x\left| x = 3n + 2,n \in N\} \right.\ ,B = \{ 6,8,10,12,14\}$ ，则集合 $A \cap B$ 中的元素个数为

（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2

2、已知点 $A(0,1),B(3,2)$ ，向量 $\overrightarrow{\text{AC}} = ( - 4, - 3)$ ，则向量 $\overrightarrow{\text{BC}} =$

（A） $( - 7, - 4)$ （B） $(7,4)$ （C） $( - 1,4)$ （D） $(1,4)$

3、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1)i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

（A） $- 2 - i$ （B） $- 2 + i$ （C） $2 - i$ （D） $2 + i$

4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 $1,2,3,4,5$ 中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

（A） $\frac{3}{10}$ （B） $\frac{1}{5}$ （C） $\frac{1}{10}$ （D） $\frac{1}{20}$

5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，E的右焦点与抛物线 $C:y^{2} = 8x$ 的焦点重合， $A,B$ 是C的准线与E的两个交点，则 $\left| \text{AB} \right| =$

（A） $3$ （B） $6$ （C） $9$ （D） $12$

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）

image.png

（A） $14$ 斛（B） $22$ 斛（C） $36$ 斛（D） $66$ 斛

7、已知 $\{ a_{n}\}$ 是公差为1的等差数列， $S_{n}$ 为 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{8} = 4S_{4}$ ，则 $a_{10} =$ （）

（A） $\frac{17}{2}$ （B） $\frac{19}{2}$ （C） $10$ （D） $12$

8、函数 $f(x) = \cos(\omega x + \varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为（）

（A） $(k\pi - \frac{1}{4},k\pi + \frac{3}{4}),k \in Z$

（B） $(2k\pi - \frac{1}{4},2k\pi + \frac{3}{4}),k \in Z$

（C） $(k - \frac{1}{4},k + \frac{3}{4}),k \in Z$

（D） $(2k - \frac{1}{4},2k + \frac{3}{4}),k \in Z$

image.png

9、执行右面的程序框图，如果输入的 $t = 0.01$ ，则输出的 $n =$ （）

（A） $5$ （B） $6$ （C） $10$ （D） $12$

image.png

10、已知函数 $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ 2^{x - 1} - 2,x \leq 1 \\ \ - \log_{2}(x + 1),x > 1 \\ \end{matrix} \right.\$ ，且 $f(a) = - 3$ ，则 $f(6 - a) =$

（A） $- \frac{7}{4}$ （B） $- \frac{5}{4}$ （C） $- \frac{3}{4}$ （D） $- \frac{1}{4}$

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$ ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 $16 + 20\pi$ ，则 $r =$ ( )

（A） $1$ （B） $2$ （C） $4$ （D） $8$

image.png

12、设函数 $y = f(x)$ 的图像与 $y = 2^{x + a}$ 的图像关于直线 $y = - x$ 对称，且 $f( - 2) + f( - 4) = 1$ ，则 $a =$ ( )

（A） $- 1$ （B） $1$ （C） $2$ （D） $4$

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分

13、数列 $\left\{ a_{n} \right\}$ 中 $a_{1} = 2,a_{n + 1} = 2a_{n},S_{n}$ 为 $\left\{ a_{n} \right\}$ 的前n项和，若 $S_{n} = 126$ ，则$n = ___ .

14.已知函数 $f\left( x \right) = ax^{3} + x + 1$ 的图像在点 $\left( 1,f\left( 1 \right) \right)$ 的处的切线过点 $\left( 2,7 \right)$ ，则 $a =$ ___ .

15. 若x,y满足约束条件 $\left\{ \begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2y + 1 \leq 0 \\ 2x - y + 2 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\$ ,则 $z=3x+y$ 的最大值为___．

16.已知 $F$ 是双曲线 $C:x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点，P是C左支上一点， $\ A\left( 0,6\sqrt{6} \right)$ ，当 $\Delta\text{APF}$ 周长最小时，该三角形的面积为___．

三、解答题

17. （本小题满分12分）

已知 $a,b,c$ 分别是 $\text{ΔABC}$ 内角 $A,B,C$ 的对边， $\sin^{2}B = 2\sin A\sin C$ .

（I）若 $a = b$ ，求 $\cos B;$

（II）若 $B = 90^{\circ}$ ，且 $a = \sqrt{2},$ 求 $\Delta\text{ABC}$ 的面积.

18. （本小题满分12分）

如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， $\text{BE}\bot 平面\text{ABCD}$ ，

image.png

（I）证明：平面 $AEC\bot$ 平面 $\text{BED}$ ；

（II）若 $\angle ABC = 120^{\circ}$ ， $AE\bot EC,$ 三棱锥 $E - ACD$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积.

19. （本小题满分12分）

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}\left( i = 1,2,\cdots,8 \right)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

image.png

$\overrightarrow{x}$	$\overrightarrow{y}$	$\overrightarrow{w}$	$\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overline{x})^{2}}$	$\sum_{i = 1}^{n}{(w_{i} - \overline{w})^{2}}$	$\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)$	$\sum_{i=1}^{n}\left(w_{i}-\overline{w}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 $\overrightarrow{w_1~ }=\sqrt{x_1}$ ， $\overrightarrow{w}$ = $\sum_{i = 1}^{n}w_{i}$

（I）根据散点图判断， $y = a + bx$ 与 $y = c + d\sqrt{x}$ ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 $z = 0.2y - x$ ，根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费 $x = 90$ 时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据 $(u_{1},v_{1})$ , $(u_{2},v_{2})$ ，......， $(u_{n},v_{n})$ ,其回归线 $v = \alpha + \beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

$\widehat{\beta} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(u_{i} - \overline{u})(v_{i} - \overline{v)}}}{\sum_{i = 1}^{n}{(u_{i} - \overline{u})^{2}}},\widehat{\alpha} = \overline{v} - \widehat{\beta}\overline{u}$

20. （本小题满分12分）

已知过点 $A\left( 1,0 \right)$ 且斜率为k的直线l与圆C： $\left( x - 2 \right)^{2} + \left( y - 3 \right)^{2} = 1$ 交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

（II） $\overrightarrow{\text{OM}} \cdot \overrightarrow{\text{ON}} = 12$ ，其中O为坐标原点，求 $\left| \text{MN} \right|$ .

21. （本小题满分12分）

设函数 $f\left( x \right) = e^{2x} - a\ln x$ .

（I）讨论 $f\left( x \right)$ 的导函数 $f^{'}\left( x \right)$ 的零点的个数；

（II）证明：当 $a > 0$ 时 $f\left( x \right) \geq 2a + a\ln\frac{2}{a}$ .

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22. （本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图AB是 $\odot$ O直径，AC是 $\odot$ O切线，BC交 $\odot$ O与点E.

image.png

（I）若D为AC中点，求证：DE是 $\odot$ O切线；

（II）若 $OA = \sqrt{3}\text{CE}$ ，求 $\angle\text{ACB}$ 的大小.

23. （本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系 $\text{xOy}$ 中，直线 $C_{1}:x = - 2$ ，圆 $C_{2}:\left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} = 1$ ，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求 $C_{1},C_{2}$ 的极坐标方程.

（II）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta = \frac{\pi}{4}\left( \rho \in R \right)$ ，设 $C_{2},C_{3}$ 的交点为 $M,N$ ，求 $\Delta C_{2}\text{MN}$ 的面积.

24. （本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知函数 $f\left( x \right) = \left| x + 1 \right| - 2\left| x - a \right|,a > 0$ .

（I）当 $a = 1$ 时求不等式 $f\left( x \right) > 1$ 的解集；

（II）若 $f\left( x \right)$ 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

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