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2.18 有限势阱散射态 Finite square well

2.18 有限势阱散射态 Finite square well

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-06-12 14:23 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=Ex-gF7FQm5o&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=32&t=0s

前言

前一节讲束缚态，这节讲一下有限势阱的散射态

1. 势能图像和波函数

  • 当能量远大于势能的情况，波函数可以从-x到x一直延伸

波函数还是：
-\frac{\hbar \partial^2}{2m\partial x^2} \psi + V(x) \psi = E \psi

下面根据上图三个区域解波函数通解：

  • x<-a，此时E>V。
    \partial_{xx} \psi = (-) \psi，\partial_{xx}表示二次导数大于0，因为E - V > 0,而 动能前面有一个负号，正负得负

    \partial_{xx} \psi = -k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
    这样可以得到通解如下：

    \psi_1(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}

  • x>a，此时E>V
    \partial_{xx} \psi = (-) \psi，\partial_{xx}表示二次导数大于0，因为E - V >0,而 动能前面有一个负号，正负得负

    \partial_{xx} \psi = -k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
    这样可以得到通解如下：

    \psi_2(x) = F e^{ikx} + G e^{-ikx}

    image.png
    • 这里我们不关心从右边传过来的波，所以G=0

  • -a<x<a,此时E>V，令V(x)=-V_0

    \partial_{xx} \psi = (-) \psi，\partial_{xx}表示二次导数小于0，因为E - V >0,动能前面有一个负号，正负得负。
    \partial_{xx} \psi = -l^2 \psi,其中l^2=(E+V_0)\frac{2m}{\hbar^2}
    这样可以得到通解如下：
    \psi_3(x) = C \sin(lx) + D \cos(lx)

2. 利用边界条件求解上述分段波函数方程

  • 边界条件一：x=-a

x=-a \begin{cases} A e^{-ikx} + B e^{ikx} = -C \sin(lx) + D \cos(lx),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi_1(-a) = \psi_2(-a) \\ ik[A e^{-ikx} - B e^{ikx}] = l[C \cos(lx) + D \sin(lx)] ,\ \ \ \ \psi_1'(-a) = \psi_2'(-a) \\ \end{cases}

  • 边界条件二：x=a

x=+a \begin{cases} C \sin(lx) + D \cos(lx) = Fe^{-ikx} ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi_1(a) = \psi_2(a) \\ l[C \cos(lx) - D \sin(lx)] = ikF e^{ika},\ \ \ \ \ \ \ \psi_1'(a) = \psi_2'(a) \\ \end{cases}

根据两个边界条件可以得到上述四个等式，

  • 根据公式3,4可以消掉C,D(用F表示)，然后把C，D的表达式带入公式1,2可以得到A，Ｂ的表达式。

－最后可以得到透射参数（参考Ｌｅｃｔｕｒｅ　2.16)
T = \frac{|F|^2}{|A|^2} = \frac{1}{1+ \frac{V_0^2}{4E(E+V_0)} \sin^2{ ( (2a/\hbar)} \sqrt{2m(E+V_0)}) }

  • 下图是透射参数随着能量变化的图像，可以看出在某些位置有一些perfect穿透状态，即穿透系数为1，

  • 这里同样满足R+T=1的条件，可以根据这个得到反射系数。


    image.png

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