方程与曲线：2014年理数广东卷题20

方程与曲线：2014年理数广东卷题20

20.（本小题满分14 分）

已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为

（1）求椭圆 的标准方程;

（2）若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程.

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【解答第1问】

依题意可知：

椭圆 的标准方程为：

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【针对问题2的探究与猜想】

如上图所示。显然，有4个特殊点满足题目要求：

相应的4条切线方程为：

那么，在这4个特殊点外，情况又如何呢？由以下示意图可以看出， 点应该就在离原点距离有限的一个范围内。由此可以猜想： 点轨迹极有可能是一个椭圆，甚至是一个圆。

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【解答第2问】

以下4个点满足题设要求：

相应的切线方程为：

当切线斜率存在时，经过动点 的直线方程可表示为：

该直线与椭圆的公共点应满足如下方程组：

消元后得「方程1」：

切线与椭圆只有一个公共点，所以 ， 所以：

整理后得「方程2」：

又 ∵ 两条切线相互垂直，∴

前面提到的4个特殊点同样满足以上方程。

结论：点 的轨迹方程为：.

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【提炼与提高】

判别式和韦达定理是解析几何的主要工具，在本题解答中，这两大工具直到了关键性的作用。

「方程1」是关于 的方程， 是参数；

「方程2」是关于 的方程， 是参数；

在用判别式和韦达定理进行推导的过程中，实际上隐含了一个条件：切线斜率是存在的。所以，针对切线斜率不存在的情况及对应的4个特殊点，我们单独进行了讨论。这样，针对问题2的解答就是完整和严密的。

本题涉及以下常见问题：

如何求圆锥曲线的切线？

求曲线的切线有多种方法，本题中用的是判别式法。

如何利用已知条件中的垂直关系？

垂直关系可以转化为多种等价条件，本题用的是：两直线的斜率之积为 .

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【演算过程】

有些题难在思路，有些题难在计算；本题在两个方面都有难度。从备考训练的角度来看，如果能够流畅地解答本题，在两方面的水平都会有所提高。

以下是笔者的手稿，供大家参考。