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立体几何复盘：体积公式的多种用法

立体几何复盘：体积公式的多种用法

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-09 23:34 被阅读0次

折纸：2018年文数全国卷A题18

如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，\angle ACM=90°.以 AC 为折痕将 \triangle ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB \perp DA.
（1）证明∶平面 ACD \perp 平面 ABC;
（2）Q 为线段 AD上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA，求三棱锥 Q-ABP 的体积.

2018年文数全国卷A

【破解攻略】

DC,CA,AB 三线段间两两垂直，所以，四面体 D-ABC 的体积是容易算出的 ；

D-ABC, Q-ABC 是共高的四面体；

Q-ABC, Q-PAB 是共高的四面体；

体积比可以转化为面积比；面积比可以转化为线段比；

此题得破.

详情请看：2018年文数全国卷A题18

三棱柱：2012年文数全国卷题19

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，侧棱垂直底面，\angle ACB=90°, AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D 是棱 AA_1 的中点.
（I）证明∶平面 BDC_1 \perp 平面 BDC;
（Ⅱ）平面 BDC_1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2012年文数全国卷

【破解攻略】

C_1D, DC, CB 三条线段相互垂直，所以，四面体 B-DCC_1 的体积是较容易求出的；

求出 V_{B-DCC_1}, V_{D-ABC}，则本题得破.

参考答案：2012年文数题19

2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PA\perp平面 ABCD，E为 PD 的中点.
（Ⅰ）证明∶PB // 平面 AEC;
（Ⅱ）设 AP=1,\,AD=\sqrt{3}，三棱锥 P-ABD 的体积 V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}，求 A 到平面 PBC 的距离.

2014年文数全国卷B18

【破解攻略】

体积公式可用于计算距离.

在本题中，P-ABC,P-ABD 是等底等高的四面体，体积相等；

V_{P-ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle PBC} \cdot h_{_A}

求出 \triangle PBC 的面积，就可以算出 h_{_A}，也就是求 A 到平面 PBC 的距离.

此题得破.

参考答案：2014年文数全国卷B18

2014年理数全国卷B题18

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PA\perp平面 ABCD，E为 PD 的中点.
（Ⅰ）证明∶PB // 平面 AEC;
（Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1,AD=\sqrt{3}，求三棱锥 E-ACD 的体积.

2014年理数全国卷B18

【破解攻略】
E为 PD 的中点， \Rightarrow \; S_{\triangle EAD} = \dfrac{1}{2} S_{\triangle PAD}.

\Rightarrow\; V_{E-ACD} = \dfrac{1}{2} V_{P-ACD}

参考答案：2014年理数全国卷B题18

四面体：2009年文数海南卷题18

如图，在三棱 锥 P - ABC 中，\triangle PAB 是等边三角形，\angle PAC= \angle PBC=90°.
（Ⅰ）证明∶AB \perp PC;
（Ⅱ）若 PC=4，且平面 PAC \perp 平面 PBC，求三棱锥 P-ABC 的体积.

2009年文数海南卷

【破解攻略】

参考答案：2009年文数海南卷题18

四面体：2017年文数全国卷C题19

如图，四面体 ABCD 中，\triangle ABC 是正三角形，AD=CD.
（1）证明：AC \perp BD ；
（2）已知\triangle ACD 是直角三角形，AB=BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE \perp EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.

2017年文数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2017年文科数学全国卷C题19

四面体：2011年文数全国卷题18

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，\angle DAB=60°,AB=2 AD，PD \perp 底面 ABCD.
（I）证明∶PA \perp BD;
（Ⅱ）设 PD=AD=1，求棱锥 D-PBC 的高.

2011年文数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2011年文科数学全国卷题18

四面体：2018年文数全国卷B题19

如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2 \sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点.
（1）证明∶PO \perp 平面 ABC;
（2）若点 M 在棱 BC上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离.

2018年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四面体：2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2 \sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点.
（1）证明∶PO \perp 平面 ABC;
（2）若点 M 在棱 BC上，且二面角 M-PA-C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2018年理数全国卷B题20

四面体：2016年文数全国卷A题18

如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6. 顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.
（Ⅰ）证明∶G 是 AB 的中点;
（Ⅱ）在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积.

2016年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2016年文数全国卷A题18

四面体：2015年文数全国卷A题18

如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE \perp 平面 ABCD.
（Ⅰ）证明∶平面 AEC \perp 平面 BED;
（Ⅱ）若 \angle ABC=120°，AE \perp EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 \dfrac{\sqrt{6}}{3}，求该三棱锥的侧面积.

2015年文数全国卷A

提示：这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。

【破解攻略】

参考答案：2015年文科数学全国卷A18

四面体：2019年全国卷A题12

已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，\triangle ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，\angle CEF=90°，则球 O 的体积为
A.8\sqrt{6}\pi \qquad B.4\sqrt{6}\pi \qquad C.2\sqrt{6}\pi \qquad D.\sqrt{6}\pi

【破解攻略】

参考答案：2019年全国卷A题12~常用四面体之二

折纸：2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 \triangle DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF \perp BF.

（1）证明∶平面 PEF \perp平面ABFD;

（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.

提示：分别用几何法和向量法解答，并作比较分析。

2018年理数全国卷A

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

三棱柱~菱形：2013年理数全国卷A题18

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，CA=CB,AB=AA_1,\angle BAA_1=60°.
（I）证明∶AB \perp A_1C ;
（Ⅱ）若平面 ABC \perp 平面 AA_1B_1B, AB=CB，求直线 A_1C 与平面 BB_1C_1C 所成角的正弦值.

2013年理数全国卷A

提示：第一问与2007年海南卷基于同一题根。

第二问，你应该分别用两种方法解答：几何方法、向量方法。解答完成后，比较一下两种方法的优劣。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

参考答案：2013年理数卷A题18：几何法求线面角

三棱柱~菱形：2013年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.
（Ⅰ）证明∶AB \perp A_1C ;
（Ⅱ）若 AB=CB=2, A_1C=\sqrt{6} ，求三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的体积.

2013年文数全国卷A

【破解攻略】

提示： 本题的第一问，与2007年文数海南卷，基于同一题根。

参考答案：2013年文数卷A题19

三棱柱~菱形：2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BB_1C_1C 为菱形，B_1C 的中点为 O，且 AO \perp 平面 BB_1C_1C.
（I）证明∶B_1C \perp AB ;
（Ⅱ）若 AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, BC=1，求三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的高.

2014年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2014年文数全国卷A题19

四棱柱：2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA_1 上，BE \perp EC_1.
（1）证明∶BE \perp 平面 EB_1C_1 ;
（2）若 AE=A_1E, AB=3，求四棱锥 E-BB_1C_1C 的体积.

2019年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2019年文数全国卷B题17

四棱柱：2019年文数全国卷A题19

如图，直四棱柱 ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60° ，E，M，N 分别是 BC,BB_1,A_1D 的中点.
（1）证明∶MN// 平面 C_1DE ;
（2）求点 C 到平面 C_1DE 的距离.

2019年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2019年文数全国卷A题19

四棱锥：2010年理数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB//CD，AC \perp BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点.
（1）证明∶PE \perp BC;
（2）若 \angle APB=\angle ADB =60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

2010年理数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2010年理数全国卷题18

四棱锥：2010年文数全国卷题18（12分）

如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB//CD，AC \perp BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高.
（1）证明∶平面 PAC \perp 平面 PBD;
（2）若 AB=\sqrt{6},\; \angle APB=\angle ADB =60°，求四棱锥 P-ABCD 的体积.

2010年文数全国卷

【破解攻略】

参考答案：2010年文数全国卷题18

四棱锥：2011年理数北京卷题16（14分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp 平 面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2, \angle BAD=60°.
（Ⅰ）求证∶BD \perp平面 PAC;
（Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值;
（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长.

2011年理数北京卷

【破解攻略】

四棱锥：2012年理数大纲卷题18（12 分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA \perp 底面 ABCD，AC=2\sqrt{2}，PA=2，E 是 PC上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明∶PC \perp 平面 BED;
（Ⅱ）设二面角 A-PB-C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

2012年理数大纲卷

【破解攻略】

参考答案：2012年理数大纲卷题18

四棱锥：2016年理数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA\perp 底面 ABCD，AD//BC, AB=AD=AC=3, PA=BC=4，M 为线段 AD上一点，AM =2MD，N 为 PC 的中点.
（I）证明 MN //平面 PAB;
（Ⅱ）求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值.

2016年理数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2016年理数全国卷C题19

四棱锥：2016年文数全国卷C题19（12分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA\perp 底面 ABCD，AD//BC, AB=AD=AC=3, PA=BC=4，M 为线段 AD上一点，AM =2MD，N 为 PC 的中点.
（I）证明 MN // 平面 PAB;
（Ⅱ）求四面体 N-BCM 的体积.

2016年文数全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2016年文数全国卷C题19

四棱锥：2017年文数全国卷A题18 （12 分）

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 \angle BAP= \angle CDP=90°.
（1）证明∶平面 PAB \perp平面 PAD;
（2）若 PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°，且四棱锥 P-ABCD 的体积为 \dfrac{8}{3}，求该四棱锥的侧面积.

2017年文数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2017年全国卷A题18

四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.
（1）证明∶直线 BC // 平面 PAD;
（2）若 \triangle PCD 的面积为 2\sqrt{7} ，求四棱锥 P-ABCD 的体积.

2017年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2017年文数全国卷B题18

四棱锥：2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD \perp 平面 ABCD， PA \perp PD, PA=PD , AB \perp AD, AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}.

2016年理数北京卷题17

（Ⅰ）求证∶PD \perp 平面 PAB;
（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;
（Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM // 平面 PCD ？ 若存在，求 \dfrac{AM}{AP} 的值；若不存在，说明理由.

参考答案：2016年理数北京卷题17

长方体类问题

长方体：2008年文数海南卷题18（ 12 分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位∶cm）. （I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积;

（Ⅲ）在所给直观图中连结 BC'，证明∶BC'//面 EFG.

2008年文数海南卷

三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，D,E 分别是 AB,BB_1 的中点.
（I）证明∶BC_1//平面 A_1CD;
（Ⅱ）设 AA_1=AC=CB=2, AB=2\sqrt{2} ，求三棱锥 C-A_1DE 的体积.

2013年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2013年文数全国卷B题18

折纸：2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD,CD上，AE=CF,EF 交 BD于点 H. 将 \triangle DEF 沿 EF 折到 \triangle D'EF 的位置.
（I）证明∶AC \perp HD';
（Ⅱ）若 AB=5,AC=6,AE=\dfrac {5}{4}, OD'=2\sqrt{2}，求五棱锥 D'-ABCFE 的体积.

2016年文数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2016年文数全国卷B题19

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