零点问题：2014年文数全国卷B题21

零点问题：2014年文数全国卷B题21

已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 .

（Ⅰ）求 ;

（Ⅱ）证明∶当 时，曲线 与直线 只有一个交点.

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【解答问题Ⅰ】

曲线 在点 处的切线方程为

因为切线过点 , 所以 , 解得

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【解答问题Ⅱ】

由第1问结论可得：

曲线 与直线 的交点坐标满足方程： .

令 待证命题可转化为：当 时，函数 只有一个零点.

(1) 若 , 则 , , 函数 在 内单调递增，只有一个零点；

(2) 若 方程两相等. 设 , 则当 或 , , 函数 单调递增，所以， 在 内只有一个零点；

(3) 若 , 以上方程有两个不相等的根，可记作 .

不妨设 ， 则

, 函数 单调递增；

, 函数 单调递减；

, 函数 单调递增；

根据韦达定理可得：

,

所以，, 函数 的极大值与极小值同为正或同为负. 所以， 只有一个零点.

综上所述，当 时，函数 只有一个零点，所以，曲线 与直线 只有一个交点.

证明完毕.

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【提炼与提高】

这个考题涉及以下问题：

（1）函数的零点问题与函数图像的交点问题；

（2）利用导函数讨论函数的单调性和极大值、极小值；

（3）用韦达定理和判别式讨论二次函数的性质；

（4）幂函数的性质；

以上公式在本题解答过程中起到了关键性作用。这也是本题的一大特色。

高考的一项重要功能是对学生进行评估：是否已经为大学的学习作好了准备？

在高中阶段学习的函数中，指数函数和对数函数显得灵活多变，幂函数显得比较“老实”；高考命题中，函数部分的大题多数围绕指数函数、对数函数来命题，相对而言，纯用幂函数的大题较少，但也不是孤例。

除了2014年的这个题，还有2018年这个题： 2018年文数全国卷B题21

这类问题的解法相对固定，困难主要是计算量稍大，有部分学生就会望而生畏，望而却步。

解决的办法也简单，就是把这两题的演算过程多写几遍，达到流畅程度。这两题解决后，其他只要依法炮制就好。

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