继续light-ray operator，一点一点地加深了解。
当我们说对一个群做harmonic analysis的时候，一般是说研究这个群的unitary的表示。 conformal group 是non-compact 的，所以他们表示都是无限维的，对应了一些local operators。去掉non-compact的方向，剩余一个compact的子群，label这个子群的表示我们就可以用离散的量子数，对应了local operators可能带有的一些离散指标。这些表示存在等价类，就是如果我们用Casimir的本征值来区分这些表示的时候，存在一些degeneracy：不同的表示有相同的本征值。这些等价的表示之间存在interwining map相互转化。不同的表示又是由量子数来表征的，这个interwining map就induce 了一个量子数的转化，对应了这个群的Weyl group。
对于闵式空间的conformal group，有两个non-compact的方向，按照之前的理论，有两个连续的量子数，其中一个本来在欧式空间里是角动量。按照表示论，这个角动量在现在的闵式空间就应该是一个连续的变量。但是我们引入了新的条件，不仅要求表示是unitary的还有求能量为正，这就要求角动量只能取非负整数。结果就是所有的local operators 都是只能带有非负整数的角动量。要想构造一个具有连续角动量的operator，就必须引入non-locality。
我们为什么要对角动量做解析延拓呢？这个解析延拓一般并不是之间作用在local operator上，而是作用在观测量上，比如conformal block或是关联函数。比如4点的关联函数可以分解为很多不同的conformal block对应不同的交换粒子的结果。conformal block是一个关于交换粒子量子数（conformal weight还有角动量）还有一些kinematic变量的函数。当对这些kinematic的变量去一些极限的情况下，我们可以至考虑贡献最大的一个conformal block，这个对应了最大的角动量。但是单单看这一项，这个值是发散的。但是我们知道4点函数应该是有限的值。要消除这个冲突，一个想法就是，并没有最大的角动量，然后当对所有的conformal block求和的时候，会出现相互抵消的情况，最后得到一个有限的值。这相互抵消的情况的发生不能是偶然的，说明4点函数本事就是一个关于角动量的解析函数，虽然按角动量展开后，每一项发散，但是求和就能收敛到一个有限的函数值。
所以我们要做两件事，1是可以解析延拓角动量，2而是要把有限的求和变为无穷的。第二个很容易做到，就是当我们对4点函数展开的时候，可以有不同的channel，一般在s channel展开里，角动量是bounded的，但是如果我们按照cross channel的conformal block展开就需要无穷的求和。要做到第一点就需要把4点函数表示成一个关于角动量的解析函数。一般的是trick是找到一个积分形式，然后integrand是关于角动量的解析函数。
这回我们可以尝试理解light-ray operator。首先他是由对local operator做某一个interwining map得到。这个interwining map是一个积分的变换，这个积分integrand又是一个关于角动量的解析函数，这样我们可以直接做解析延拓。当角动量是整数的时候，这个interwining map应该给出一个local operator对应了一个表示。但是当角动量是一般的数的时候，这个积分变换就不再对应local operator，而是对应了一个non-local operator，正好满足之前的要求能量为正的限制。
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