高等代数理论基础32：分块乘法的初等变换及应用举例

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-13 07:46 被阅读41次

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分块乘法的初等变换及应用举例

将单位矩阵分块 $\begin{pmatrix}E_m&O\\O&E_n\end{pmatrix}$

对它进行两行(列)对换,某一行(列)左乘(右乘)矩阵P,一行(列)加上另一行(列)的矩阵P倍,可得如下矩阵：

$\begin{pmatrix}O&E_n\\ E_m&O\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}P&O\\O&E_n\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}E_m&O\\O&P\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}E_m&P\\ O&E_n\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}E_m&O\\P&E_n\end{pmatrix}$

这些矩阵左乘任一分块矩阵 $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ ,只要分块乘法能进行,结果即为对它进行相应的变换：

$\begin{pmatrix}O&E_m\\ E_n&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C&D\\A&B\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}P&O\\O&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}PA&PB\\C&D\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}E_m&O\\ P&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\C+PA&D+PB\end{pmatrix}$

同样,右乘任一矩阵,进行分块乘法时也有相应的结果

注：若A可逆,取 $P=-CA^{-1}$ ,则 $C+PA=O$

$\begin{pmatrix}A&B\\C+PA&D+PB\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\O&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

例： $T=\begin{pmatrix}A&O\\C&D\end{pmatrix}$ ,A,D可逆,求 $T^{-1}$

解：

$由\begin{pmatrix}E_m&O\\ -CA^{-1}&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\ C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\\ O&D\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}A&O\\O&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&D^{-1}\end{pmatrix}$

$\therefore T^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&D^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&O\\-CA^{-1}&E_n\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-D^{-1}CA^{-1}&D^{-1}\end{pmatrix}$

例： $T_1=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ ,设 $T_1,D$ 可逆,证明 $(A-BD^{-1}C)^{-1}$ 存在,并求 $T_1^{-1}$

解：

$\begin{pmatrix}E_m&-BD^{-1}\\ O&E_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&O\\C&D\end{pmatrix}$

$右端可逆\Rightarrow (A-BD^{-1}C)^{-1}存在$

$T_1^{-1}=\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&O\\ C&D\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}E_m&-BD^{-1}\\O&E_n\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&O\\-D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1}&D^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m&-BD^{-1}\\O&E_n\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&-(A-BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1}&D^{-1}C(A-BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1}+D^{-1}\end{pmatrix}$

例：证明行列式的乘积公式 $|AB|=|A||B|$

证：

$设A,B为n\times n矩阵$

$作\begin{pmatrix}E&A\\O&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\-E&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&AB\\-E&B\end{pmatrix}$

$P_{ij}=\begin{pmatrix}E_n&E_{ij}\\O&E_n\end{pmatrix},i,j=1,2,\cdots,n$

$其中E_{ij}为n\times n矩阵,除了第i行第j列元素为a_{ij}外其余元素为零$

$由初等矩阵与初等变换的关系$

$P_{11}P_{12}\cdots P_{1n}\cdots P_{n1}\cdots P_{nn}\begin{pmatrix}E_n&O\\O&E_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_n&A\\O&E_n\end{pmatrix}$

$又P_{ij}所对应的初等变换为某行加上另一行的倍数$

$不改变行列式的值$

$\therefore \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}E&A\\O&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\-E&B\end{pmatrix}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}P_{11}\cdots P_{nn}\begin{pmatrix}A&O\\-E&B\end{pmatrix}\end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\-E&B\end{pmatrix}\end{vmatrix}$

$=|A||B|$

$\begin{pmatrix}O&AB\\-E&B\end{pmatrix}可经n个两列对换变成$

$\begin{pmatrix}AB&O\\B&-E\end{pmatrix}$

$\therefore \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}O&AB\\-E&B\end{pmatrix}\end{vmatrix}=(-1)^n\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}AB&O\\B&-E\end{pmatrix}\end{vmatrix}$

$=(-1)^n|AB||-E|=|AB|$

$\therefore |A||B|=|AB|$

例：设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ ,且 $\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\neq 0,1\le k\le n$ ,则有下三角形矩阵 $B_{n\times n}$ 使得BA=上三角形矩阵

证：

$n=1时,$

$一级矩阵既是上三角形矩阵又是下三角形矩阵$

$命题显然成立$

$假设对n-1,命题成立$

$A_1=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}\end{pmatrix}$

$A_1满足题设条件$

$有下三角形矩阵(B_1)_{(n-1)\times (n-1)}满足$

$B_1A_1=上三角形矩阵$

$对A分块$

$A=\begin{pmatrix}A_1&\beta\\\alpha&a_{nn}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}E&O\\-\alpha A_1^{-1}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&\beta\\\alpha&a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_1&\beta\\O&-\alpha A_1^{-1}\beta+a_{nn}\end{pmatrix}$

$作\begin{pmatrix}B_1&O\\O&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&\beta\\O&-\alpha A_1^{-1}\beta+a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_1A_1&B_1\beta\\O&-\alpha A_1^{-1}\beta+a_{nn}\end{pmatrix}$

$此时矩阵成为上三角形矩阵$

$结合两次乘法可得$

$B=\begin{pmatrix}B_1&O\\O&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&O\\-\alpha A_1^{-1}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_1&O\\-\alpha A_1^{-1}&1\end{pmatrix}$

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